Buscando referencias en 'celosías no discretas'

Question

Un entramado en $\mathbb{R}^n$ es un subgrupo discreto que abarca $\mathbb{R}^n$. Recientemente he estado corriendo en una especie de objeto que consta de más de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ e sus $\mathbb{Z}$-de las combinaciones lineales.

Creo que esto se ve mejor a través de un ejemplo.

Considerar el aburrido entramado generado por $(1,0)$$(0,1)$. Este es el buen ol' estándar de coordenadas de celosía que conocemos y amamos.

Ahora mira en la " no-discretas de entramado generado por $(1,0), (0,1), (1,\sqrt 2)$. Este no es un subgrupo discreto de $\mathbb{R}^2$ porque es horizontal densa,' es decir, si $(x,y)$ es en el "entramado", entonces hay infinitamente muchos otros puntos en $(x\pm \epsilon, y)$ en el " entramado.' Esto es muy diferente que el que no disrete entramado generado por $(1,0), (0,1), (\sqrt 2, \sqrt 2)$, que está por todas partes densas.

Estos ejemplos son un poco artificial, pero en dimensiones superiores/más general campos, tengo un tiempo difícil determinar la resultante de las características de la 'red.' Por ejemplo, es fácil saber cómo 'denso' el resultado 'celosía'? ¿Esto/existen aplicaciones conocidas de este, digamos, la teoría de los números?

Para ser específicos:

1. Hay un nombre para el concepto de lo que he llamado un " no-discretas celosía?'
2. Puede que me apunte a material de referencia en los " no-discretas celosías?'

Answer 1

Una cosa muy interesante esto me recuerda es "equidistribución" los problemas, por ejemplo, como Weyl, y volviendo a Kronecker. Es decir, en el caso más simple, para irracional $\theta$, la colección de múltiplos enteros de $\theta$ es equidistributed en el círculo de la $\mathbb R/\mathbb Z$, en el sentido de que (por ejemplo, liso, sino $C^1$ más que suficiente) periódico $f$, el límite de${1\over N}\sum_{1\le n\le N} f(n\theta)$$\int_0^1 f$.

Resultados similares mantenga en una dimensión superior/grado, y entre los resultados de existir, como se ilustra en la pregunta. Que es, el análogo límite puede ser la integración a través de una adecuada sub-toro.

Answer 2

En los comentarios, Alex respondió #1 como un "nondiscrete celosía" es en realidad sólo un finitely generado grupo.

Un tipo similar de cosa hace surgir en la teoría de números. Por ejemplo, en el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] \subset \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ no es un entramado en el interior de $\mathbb{R}$ ya que no es discreto. Central de la filosofía de la teoría de números es, no se debe olvidar Galois conjugados. La aplicación de este en este caso lleva a la incrustación de $$(a+b\sqrt{2}) \rightarrow (a+b\sqrt{2}, a-b\sqrt{2}) \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$$ y su imagen es una celosía. Más en general, esto puede ser aplicado a cualquier anillo de enteros (ver aquí para la técnica general y un clásico de la aplicación).

También pidió a la pregunta:

"¿ A esto/existen aplicaciones conocidas de este, digamos, la teoría de los números?"

Voy a ser valiente y decir la respuesta es "no", aunque me encantaría que alguien que sepa de un ejemplo para que se acercaran. Al menos no se me ocurre ningún ejemplo en los campos de la teoría de los números estoy más familiarizado con (clásico de la teoría algebraica de números, la moderna teoría algebraica de números, Diophantine geometría). Es cierto que yo soy menos familiarizados con la teoría analítica de números y (irónicamente) esta es un área donde podía ver subgrupos más probable que se utilicen.

Filosóficamente creo que esto es debido a que la teoría de los números es un discreto sujeto casi por definición. Más concretamente, dado un subgrupo normalmente, hay dos cosas que usted puede estudiar: el subgrupo de sí mismo y el cociente por el subgrupo. Cuando se desea estudiar el subgrupo de sí mismo, normalmente es porque de alguna manera se relaciona con números enteros y por lo tanto deben ser discretos. Los cocientes son también utilizados, especialmente en la moderna teoría algebraica de números con modular curvas y sus dimensiones superiores análogos. De nuevo, aquí se necesita el grupo para ser discreto porque hay una estructura geométrica que se quiere preservar en el cociente.