Topología de subespacio y topología de orden

Question

De Munkres, p.90 ejemplo 3:

Dejemos que $I=[0,1]$ . El orden del diccionario en $I\times I$ es sólo la restricción a $I\times I$ del orden del diccionario en el plano $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ . Sin embargo, la topología de orden del diccionario en $I\times I$ no es la misma que la topología del subespacio en $I\times I$ obtenida a partir de la topología del diccionario en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ¡! Por ejemplo, el conjunto $\{1/2\}\times (1/2,1]$ está abierto en $I\times I$ en la topología del subespacio pero no en la topología del orden.

¿Podría explicar cómo puede $\{1/2\}\times (1/2,1]$ ser abierto en la topología del subespacio? Tenemos que encontrar un $A\times B$ abrir en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ tal que $([0,1]\cap A)\times ([0,1]\cap B)=\{1/2\}\times(1/2,1]$ . ¿Cómo puede la intersección de un intervalo abierto real con $[0,1]$ ¿es un único individuo?

Answer 1

Usted escribió:

Tenemos que encontrar un $A\times B$ abrir en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ tal que

Esto sería cierto si estuviéramos trabajando con la topología del producto en $\mathbb R\times\mathbb R$ . Pero en este ejemplo estamos trabajando con el topología de pedidos procedente del orden lexicográfico .

En esta topología sobre $\mathbb R\times\mathbb R$ el conjunto $\{1/2\}\times(1/2,3/2)$ es abierto, ya que es precisamente el conjunto de todos los puntos que están entre $(1/2,1/2)$ y $(1/2,3/2)$ (con respecto al orden lineal con el que estamos trabajando).

El conjunto $\{1/2\}\times(1/2,1]$ no es abierto en topología de orden (desde el orden lexicográfico en $I\times I$ ) ya que cada vecindad del punto $(1/2,1)$ contiene algunos puntos con $x$ -coordenada mayor que $1/2$ . (Dado que el punto $(1/2,1)$ no tiene un sucesor inmediato ni es el mayor elemento de este orden).