Aquí es un contraejemplo. Deje $k$ ser un campo finito, vamos a $V=k^{\oplus\mathbb{N}}$, y deje $W$ ser distinto de cero finito-dimensional espacio vectorial sobre $k$. Deje $R$ ser el anillo de endomorphisms $f:V\oplus W\to V\oplus W$ tal que $f(V)\subseteq V$. Deje $a\in R$ ser el endomorfismo que es el operador de desplazamiento a la izquierda en $V$ y la identidad en $W$. Deje $b\in R$ ser el endomorfismo que es el operador de desplazamiento a la derecha en $V$ y la identidad en $W$. Deje $d\in R$ ser distinto de cero endomorfismo que es $0$ a $V$ y mapas de todos los de $W$ a que el núcleo de $a$ (es decir, el subespacio de $V$ apoyado en la primera coordenada).
Ahora observe que $ab=1$ e $ad=0$, lo $r_2=b$ e $r_1=b+d$ son dos diferentes derecha inversos a $a$. Para cualquier $x\in R$, $\gamma(x)=b+dx$, así que la pregunta es si $dx$ toma infinitos valores. Pero cualquier elemento de $R$ de la forma $dx$ debe aniquilar $V$ y la imagen está contenida en el núcleo de $a$, desde el $x$ mapas de $V$ y $d$ aniquila $V$ y tiene la imagen contenida en el núcleo de $a$. Desde $W$ y el núcleo de $a$ son tanto finito, sólo hay un número finito de estos mapas. Por lo $dx$ toma sólo un número finito de valores distintos, y así no $\gamma(x)$.
Relacionar su enfoque para el estándar de la prueba, tenga en cuenta que si se fijan un derecho inverso $r_2=b$, entonces usted puede conseguir otro derecho inverso $r_1=b+d$ mediante la adición de cualquier $d\in R$ tal que $ad=0$. Una particular elección de un $d$ es $d=1-ba$. El estándar de prueba, a continuación, muestra que los elementos $da^n$ son distintas para todos los $n\in\mathbb{N}$, por lo que $\gamma(x)=b+dx$ toma infinitamente muchos valores diferentes. Esto sólo funciona, a pesar de que, por el especial valor de $d$ elegido (en particular, el argumento que utiliza el hecho de que $1-d\in Ra$). Como el ejemplo de arriba muestra, si usted toma cualquier valor distinto de cero $d$ tal que $ad=0$, no puede ser sólo un número finito de valores distintos de $dx$.
