La conexión en términos de trivialización local.

Question

Estoy teniendo problemas para entender cómo se puede escribir la relación en términos de la banalización del vector paquete.

Suponga $\pi: E\rightarrow X$ es un vector paquete con rango de $n$. Una conexión en $E$ es un mapa $$A:TE\rightarrow \pi^{*}E$$ such that $Un$ is a splitting of the sequence $0\rightarrow \pi^{*}E\rightarrow TE\rightarrow \pi^{*}TX\rightarrow 0$ and commutes with multiplication by scalars. Here the map from $\pi^{*}E$ to $TE$ is defined by $$(e,v)\rightarrow (e,\frac{d}{dt}|_{t=0}(e+tv))$$

El autor (Acantilado Taubes) afirma que si dejamos $x_{i}$ $n$ correspondiente banalización de las funciones de $E_{U}\rightarrow U\times \mathbb{C}^{n}$ de tal manera que tenemos $$x(e)=(\pi(e),(x^{1}(e)...x^{n}(e))$$ Then the connection $Un$ takes value in $\mathbb{C}^{n}$ (viewed as a one form on $E$ with values in $\pi^{*}E$). So far I can follow since $\pi^{*}E$ has extra $$ n dimensiones. Pero me siento en la pérdida con la siguiente afirmación, porque no sé cómo construir una inversa para formar una división de mapa:

Deje $A^{a}$ ser las coordenadas, entonces podemos escribir $$A^{a}=dx^{a}+A^{ab}x^{b}$$ Here $A^{ab}$ is a 1-form pulled back from $U$. We can think of $$ as an End($\mathbb{C}^{n}$)valued 1-form on $U$.

Mis preguntas son:

1): ¿Cómo puedo obtener esta fórmula? ¿Cómo debo interpretar esto en términos de la secuencia exacta?

2): ¿Cómo puedo mostrar cualquier conexión de $A$ puede escrita en esta forma, y cualquier $A^{ab}$ definido en $U$ es suficiente para definir $A$?

3): Existe una marcada diferencia entre esta definición y la definición en wikipedia, por ejemplo en la wikipedia conexión se define como un mapa de las secciones a las secciones. ¿Cuál es la razón de la discrepancia en el idioma?

Answer 1

$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ Considere la posibilidad de $U = X$, e $E = U \times \mathbb{C}^n$, un trivial paquete. A continuación, se identifican los siguientes tres paquetes de más de $E$ como sigue \[ \pi^* E = U \times \C^n \times \C^n \a E, \quad (u, x, v) \mapsto (u, x). \] \[ TE = MA \times \C^n \times \C^n \a E, \quad (u, u', x, v) \mapsto (u, x). \] \[ \pi^* TU = TU \times \C^n \a E, \quad (u, u', x) \mapsto (u, x). \] Los dos mapas en su secuencia exacta de vector de paquetes de más de $E$ se $(u, x, v) \mapsto (u, 0, x, v)$ $(u, u', x, v) \mapsto (u, u', x)$.

Tenga en cuenta que con estas identificaciones, mi vectores $v$ son realmente para ser considerado como $v = \sum x^a \partial_{x^a}$. (Para ser honesto, yo no soy super cómodo con la notación de Einstein, así que pido disculpas si me los índices hacia arriba o hacia abajo de forma incorrecta).

Queremos $A$$\operatorname{Hom}(TE, \pi^*E)$, es decir,~una 1-forma en $E$ con valores en $\pi^*E$. En nuestras coordenadas, esto significa que queremos que $A(u, u', x, v) = F(u,x) (u', v)$ donde $F(u,x)$ $(u,x)$ dependiente de la familia de matrices de dar lineal mapas de $\C^n \times \C^n \to \C^n$. Entonces podemos escribir esto como $F(u,x)(u', v) = F_1(u,x) u' + F_2(u,x)v$ donde $F_i$ son matrices cuadradas.

La condición de que $A$ se divide la secuencia exacta de vector de paquetes significa que $A(u, 0, x, v) = (u, x, v)$. En términos de esta $F$, entonces, esto significa $F(u,x)(0, v) = v$, es decir,$F_2(u,x) = \operatorname{Id}$.

La condición de que $A$ ser una conexión directa (desplazamientos con escalares como usted menciona arriba) significa que $F_1$ también debe ser lineal en $x$. Nos puede escribir entonces como $F_1(u,x) = \sum F_1^b x^b$, donde el $F_1^b$ puede ser considerado como 1-formas en $U$ con valores en $\C^n$.

Ahora observamos que lo que escribí es precisamente lo que la fórmula que dio a los medios. El $dx^a$ términos corresponden a la cosa que me llama $F_2$ e las $A^{ab}x^b$ corresponden a esta $F_1$.

OK, esto demuestra que cualquier forma de conexión $A$ de la forma que requiera puede ser escrito en las coordenadas de esta manera. A la inversa, que los datos de estos formularios $A^{ab}$ (y como banalizaciones etc) dan una conexión a la satisfacción de sus necesidades es esencialmente la misma idea.

Eric enlace de su comentario Ehresmann conexiones describe la relación entre estas dos definiciones. Si persecución a través de lo que su definición de los estados, se describe un lineal de Ehresmann conexión en un vector paquete, mientras que el artículo del enlace en la wikipedia describe la relación en términos de covariante derivados. Estos dos puntos de vista son equivalentes (como yo también mencionar en mi comentario anterior). Personalmente considero que la derivada covariante definición en términos de comer secciones para que sea más fácil de entender y es más fácil trabajar en los cálculos, pero el Ehresmann conexión generaliza más claramente. También ayuda a aclarar lo que una conexión realmente es: es una división del espacio de la tangente a la agrupación en una vertical subbundle (canónicamente dada por la fibration estructura) y una horizontal subbundle (que implica la elección de la conexión). Covariante derivados en un vector paquete están utilizando esta idea, junto con la natural identificación de la vertical subbundle de $TE$$E$.