Yo estaba pensando en la Serie de Maclaurin para calcular sen, cos y tan. Fue en una programación Python grupo y empezamos a pensar en la simplificación de bronceado, basado en el pecado/cos fórmula. Como ambos tienen sumatorias, pero su intervalo son los mismos ( $n=1$ $\infty$), pensé que podría escribir en una única suma del cociente de ambos.
$$\sin x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!(2n+1)} x^{2n}x$$
$$\cos x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$$
$$\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!(2n+1)} x^{2n}x}{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}x}{(2n)!(2n+1)} \times \frac{(2n)!}{(-1)^n x^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x}{2n+1}$$
Pero el resultado está lejos de ser correcta. Alguien me puede ayudar a entender por qué no puedo unir estos dos sumatorias en uno solo (ya que tienen el mismo período/intervalo)?
Entiendo que el resultado es incorrecto, pero yo no podía entender por qué.
