lim sup de secuencia de la función continua de $[0,1]\rightarrow [0,1]$

Question

$f_n:[0,1]\to [0,1]$ ser una función continua y deje $f:[0,1]\to [0,1]$ ser definido por $$f(x)=\operatorname{lim\;sup}\limits_{n\rightarrow\infty}\; f_n(x)$$ Then $f$ es

1. continua y medible

2. continua, pero no tiene que ser medible

3. medibles, pero no tiene que ser continua

4. no necesita ser medibles o continua.

Supongo que $3$ es correcto, pero no soy capaz de demostrarlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\lim\sup f_n(x)=\inf_{n\geq 1} \sup_{k\geq n} f_k(x)$$ Deje $g_n(x)=\sup_{k\geq n}f_k(x)$, luego $$g_n^{-1}(-\infty,a]=\lbrace x :g_n(x)\leq a\rbrace=\lbrace x :\sup_{k\geq n}f_k (x)\leq a\rbrace=\lbrace x: f_k(x)\leq a\mbox{ for all } k\geq n\rbrace$$ Por lo tanto $$g_n^{-1}(-\infty,a]=\bigcap_{k\geq n}f_k^{-1}(-\infty,a]$$ De ello se desprende que $g_n^{-1}(-\infty,a]$ es un conjunto medible (por ser intersección de conjuntos medibles) y por lo $g_n$ es medible.. En una manera similar, también podemos probar que $\inf_{n\geq 1}g_n$ también es medible (try), por lo que tenemos $\lim\sup f_n(x)$ es medible.

Para la segunda parte $f_n(x)=x^n$ converge pointwise a $g$ donde $g(x)=0$ al $0\leq x<1$ $g(1)=1$ y seguramente $g$ no es continua.