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$\mathbb C$ isomorfismo a $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ bajo la multiplicación

¿Cómo puedo demostrar que $(\mathbb C,\cdot)$ no es isomorfo a $(\mathbb{R},\cdot) \times (\mathbb{R},\cdot)$ en la multiplicación?
Traté de señalar que $f(1) = 1$ , entonces empareja $(1,1) \rightarrow 1 + 0i$ Pero entonces me quedé atascado.
Sé que estos semigrupos son isomorfos bajo adición, pero cualquier mapeo razonable parece no ser ni siquiera homomorfismo (debido al hecho, que $(a + bi)(c + di) \neq a+c + i(b+d)$ .

Edición: Lo siento, asumí que eran grupos.

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Jherico Puntos 12554

En el semigrupo $(\mathbb{C}, \cdot)$ cada elemento admite una raíz cuadrada, es decir, para cada $a \in \mathbb{C}$ hay un $x$ tal que $x^2 = a$ .

Supongamos que existe un isomorfismo $f$ que es un mapa biyectivo tal que $f(cd)=f(c)f(d)$ para todos $c,d$ . Sea $a = f^{-1} ((-1,-1))$ y que $x$ ser un cuadrado de $a$ . Sea $f(x)= (b_1,b_2) \in \mathbb{R}^2$ . Entonces, por un lado $f(a) = (-1,-1)$ pero por otro lado $f(a) = f(x^2) = f(x)^2 = (b_1,b_2)^2 = (b_1^2, b_2^2)$ .

Esto produciría $b_1^2 = -1 $ y $b_2^2 = -1 $ en los números reales, lo que no es posible. Esta contradicción demuestra que no hay isomorfismo.

2voto

mrseaman Puntos 161

Para demostrar que $(\mathbb{C}, \cdot)$ y $(\mathbb{R}, \cdot)^2$ no son isomorfos como semigrupos, observe que ambos semigrupos tienen un aniquilador (necesariamente único), un elemento $a$ tal que $ax = a$ para cualquier $x$ . Ambos semigrupos tienen un único elemento $e$ tal que $ex = x$ para cualquier $x \not= a$ (de hecho, los elementos distintos de $a$ forman un subsemigrupo que es realmente un grupo). La ecuación $x^2 = e$ tiene 2 soluciones en $(\mathbb{C}, \cdot)$ pero 4 soluciones en $(\mathbb{R}, \cdot)^2$ . Como podemos definir $a$ y $e$ utilizando sólo la operación de semigrupo, los dos semigrupos no pueden ser isomorfos.

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