Derivado de la $x-\sqrt { x }$

Question

Calcular $f'(x)$ usando la definición de límite

$$f(x)=x-\sqrt { x }$$

Pasos:

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { x+h-\sqrt { x+h } -(x-\sqrt { x } ) }{ h } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { x+h-\sqrt { x+h } -x+\sqrt { x } }{ h } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { h-\sqrt { x+h } +\sqrt { x } }{ h } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { h }{ h } -\frac { \sqrt { x+h } +\sqrt { x } }{ h } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad 1-\frac { \sqrt { x+h } +\sqrt { x } }{ h } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad 1-(\frac { \sqrt { x+h } +\sqrt { x } }{ h } \cdot (\frac { \sqrt { x+h } -\sqrt { x } }{ \sqrt { x+h } -\sqrt { x } } )) } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad 1-\frac { x+h-x }{ h(\sqrt { x+h } -\sqrt { x } ) } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad 1-\frac { h }{ h(\sqrt { x+h } -\sqrt { x } ) } } \quad$$

$$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad 1-\frac { 1 }{ \sqrt { x+h } -\sqrt { x } } } \quad$$

Así que llegué a este punto y darse cuenta de que la $h$ se aproxima a cero y se cancela el denominador sería cero. Mi respuesta es similar a lo que la respuesta correcta debe parecerse excepto para el denominador. ¿De dónde me salen mal? Me gustaría una sugerencia. Respuesta directa. Que no me ayuda.

Answer 1

Una señal de error en el paso $\#4$

Va a ser $$f'(x)=\lim _{ h\rightarrow 0 } \frac { h }{ h } -\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}h$$

y $$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}h=\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}$$