Hessiana de una función de Riemann colectores

Question

Deje $(M,g,\nabla)$ ser una de Riemann colector con métrica $g$ y la de Riemann conexión de $\nabla$. La hessiana de una función de $f:M\to R$ está definido por:
$$H^f(X,Y)=g(\nabla_X\ \ \operatorname{grad} f,Y)$$where $X,Y\in \frak{X}$$ ( M )$.
Mi Pregunta es

1. Dada una función positiva $f$ definido en $M$, hay una función de $h:M\to R$ tal que $$H^h(X,Y)=\frac 1fH^f(X,Y)$$Edit: One can use any additional assumption on $f$ to guarantee the existence of $h$.
2. Dado $$H^h(X,Y)=H^f(X,Y)$$ hay una relación entre ambas funciones $f,h$.

Answer 1

En cuanto a la pregunta (1): Al $M$ es compacto y $f$ positivo $C^2$ función, una $h$ existe si y sólo si $f$ es constante en cada uno de los componentes de $M$.

Prueba: Supongamos $M$ es compacto y $f\colon M\to \mathbb R$ positivo $C^2$ función. Si $f$ es constante en cada componente, claramente $h\equiv 0$ obras. Por el contrario, supongamos $h\colon M\to \mathbb R$ $C^2$ función tal que $$H^h(X,Y)=\frac 1fH^f(X,Y).$$ Tomando la traza de ambos lados, llegamos a la conclusión de que $\Delta h = \Delta f/f$. Ahora calcular $$ \Delta ( h - \log f)= \frac{\Delta f}{f} - \left(\frac{\Delta f}{f} - \frac{|\text{grad}\, f|^2}{f^2}\right) = \frac{|\text{grad}\, f|^2}{f^2}. $$ La integración de ambos lados sobre $M$, llegamos a la conclusión de que $|\text{grad}\, f|^2/f^2\equiv 0$ (debido a que la integral de una Laplaciano en un compacto de colector es igual a cero). Esto implica que $f$ es constante en cada uno de los componentes de $M$. $\square$

Al $M$ es noncompact, puede ser posible encontrar una $h$. Por ejemplo, si $M=\mathbb R$ (con la métrica Euclidiana) y $f(x)=e^x$, podemos tomar $h(x) = \tfrac12 x^2$. Por el momento, no puedo pensar en cualquier necesarias o suficientes condiciones en $M$ o $f$ en ese caso.

Answer 2

Supongamos que $M$ es compacto.

Para (2): el mismo de la siguiente manera, tomando rastro, que $\Delta f = \Delta h$, es decir, $f-h$ es armónico y, por lo tanto, constante. Por el contrario, si $f-h$ es constante, los Alemanes son iguales, por supuesto.

Para (1). De nuevo, se obtiene la $\Delta h= \frac{1}{f}\Delta f$. WLOG, restando una constante de $h$, podemos asumir que $h$ es negativo en todo el colector. Supongamos que $f$ es un (no constante) eigenfunction del Laplaciano, $\Delta f= \lambda f$, $\lambda >0$, por lo tanto, $$ \Delta h= \lambda. $$ El uso de la negatividad de $h$ y repetir la misma prueba (integración por partes) como por el hecho de que el compacto de colectores de no llevar no constante armónica de funciones, se obtiene que el $\nabla h=0$, es decir, $h=$constante, lo que implica que $f$ es constante así, una contradicción.

Uno debe ser capaz de jugar un juego similar para noncompact colectores y obtener una respuesta completa en este caso también...

Edit: me acabo de dar cuenta que por el artículo 1 mi respuesta tiene un problema: La eigenfunction $f$ en un compacto colector nunca será positivo como es requerido por el OP. (Esto puede ser visto por la restricción a un cerrado geodésica en $M$.) Todavía creo que hay ejemplos de lo contrario el problema (con un resultado positivo de $f$) pero no tengo ninguna en este momento.