Por qué $f$ es inyectiva? (infinitud de primos)

Question

En este brevísimo artículo de Dustin J. Mixon Me gustaría entender por qué el autor dice

$f$ es inyectiva por el teorema fundamental de la aritmética.

En mi opinión, el Teorema Fundamental de la Aritmética (TFA) es necesario para definir $f$ pero no es necesario demostrar que $f$ es inyectiva. Por ejemplo, si FTA no fuera cierto pero se pudiera asegurar la unicidad de $k_i$ por cualquier otro medio entonces $f$ sería inyectiva porque $(k_1,\ldots,k_N)=(m_1,\dots,m_N)\Rightarrow k_i=m_i$ .

En otras palabras, creo que la singularidad de $k_i$ (y por lo tanto FTA) es necesaria para definir $f$ pero no para demostrar que $f$ es inyectiva.

¿De qué se puede hablar?

Gracias.

Answer 1

El teorema fundamental de la aritmética no es necesario para definir $f$ ni es necesario demostrar la inyectividad de $f$ .

La inyectabilidad es inmediata porque

$$ g \colon \lbrace 0,\, \ldots,\, K\rbrace^N \to \mathbb{N}; \; g(e_1,\, \ldots,\, e_N) = \prod\limits_{i = 1}^N {p_i}^{e_i}$$

es un inverso a la izquierda de $f$ .

Para definir $f$ todo lo que necesitas es que cada número tenga algunos como producto de primos. Si no se cumpliera el TLC, dicha representación no sería única en general, pero para un conjunto finito de números y primos, se podría elegir arbitrariamente una representación incluso sin pensar en el axioma de elección.

Answer 2

La existencia de una factorización prima de cada número entero positivo es necesaria para la existencia de $f(x)$ y la unicidad de una factorización prima de cada número entero positivo es necesaria para $f(x)$ estar bien definidos.

Inyectividad de $f$ no depende ni de la existencia ni de la unicidad de las factorizaciones primos. Sólo dice que no puede haber más de un valor de $x$ que es igual a un producto especificado de otros números.