En el functor H

Question

Pregunta: ¿Qué se puede deducir acerca de $f$ mediante el examen de $H_{\ast}f?$

La versión detallada de la pregunta:

Deje $H$ ser una homología de la teoría de satisfacer las Eilenberg-Steenrod-Milnor axiomas (véase, por ejemplo, Bredon topología de la página 183). Ya que, en particular, es un functor de cada 'continuo' mapa de $f\colon X\rightarrow Y$ induce un homomorphism $H_{\ast}f$ en los grupos correspondientes. (volver a ver a Bredon para la construcción de este homomorphism).

Ahora, mi pregunta es la siguiente: Supongamos que estamos utilizando metic espacios, y , f es Lipschitz, o biLipschitz, o Hölder continua, o, a decir $f$ es positivo kernel $X.$ Hay muchas propiedades diferentes que $f$ puede satisfacer.Te invitamos a añadir su favorito de la propiedad de continuo los mapas que son homotopy invariantes o no

Es posible extraer la información sobre $f$ examinando el grupo de homomorphisms $H_{\ast}f?$ ¿Cómo?Así que, estoy interesado en pasar de grupo homomorphisms a las funciones que existen diferentes teorías de homología que uno puede construir de modo que estos abstracto homomorphisms dar información acerca de $f$?

Gracias.
Edit1: he añadido el texto en negrita

Answer 1

Las propiedades que se enumeran no son homotopy invariante, por lo tanto, la homología functor es incapaz de detectar estas propiedades. Tenga en cuenta que esto no significa que usted toma homotopies de espacios, acaba de funciones. Cualquier función suave es homotópica a una función continua que no es lisa, por lo tanto inducen el mismo grupo homomorphism. Creo que se puede demostrar declaraciones similares de las propiedades que se enumeran.

Por supuesto, hay muchas propiedades que la homología functor detecta. Un ejemplo trivial es la siguiente: una función de $S^1\rightarrow S^1$ que induce a un no-trivial grupo homomorphism $\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ no contráctiles de la imagen.