Hace $\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle $ para todos $|\psi\rangle$ implican que $\hat{A} = \hat{B}$ ?

Question

Tengo que resolver este sencillo problema:

Dejemos que $\hat{A}$ y $\hat{B}$ sean dos operadores hermitianos tales que $$ \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle \qquad \forall |\psi\rangle $$

Demostrar que $$\hat{A} = \hat{B}.$$ Sugerencia: ampliar $|\psi\rangle$ en alguna base adecuada.

Lo he intentado ingenuamente: $$ \langle\psi|\hat{A}-\hat{B}|\psi\rangle = 0 \qquad \forall |\psi\rangle $$

Por lo tanto, $\hat{A}-\hat{B}=0$ exactamente.

Pero esto parece funcionar siempre con operadores no hermitianos. ¿Estoy equivocado?

Answer 1

Sí, el OP tiene razón: se mantiene para operadores no necesariamente autoadjuntos $^1$ .

Prueba de boceto:

1. Al restar $\hat{B}$ de ambos operadores (y el renombramiento), podemos suponer w.l.o.g. que $\hat{B}=\hat{0}$ .

2. Reescritura $\hat{A}=\hat{A}_1+i\hat{A}_2$ , donde $\hat{A}_1=\frac{\hat{A}+\hat{A}^{\dagger}}{2}$ y $\hat{A}_2=\frac{\hat{A}-\hat{A}^{\dagger}}{2i}$ son operadores autoadjuntos.

3. Utilice el truco de polarización para demostrar que $$\begin{align} \forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ 0~=~&\langle \phi+\psi | \hat{A} |\phi+ \psi\rangle\cr &-\langle \phi | \hat{A} | \phi\rangle -\langle \psi | \hat{A} | \psi\rangle \cr ~=~&\langle \phi | \hat{A} | \psi\rangle +\langle \psi | \hat{A} | \phi\rangle\cr ~=~&2{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle\cr &+2i{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.\end{align}$$

4. Deduce que $$\forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ {\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle ~=~0~=~{\rm Re}\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.$$

5. Deduce que $$\forall | \phi\rangle, | \psi\rangle\in {\cal H}:~~ \langle \phi | \hat{A}_1 | \psi\rangle ~=~0~=~\langle \phi | \hat{A}_2 | \psi\rangle.$$

6. Concluir que $\hat{A}=\hat{0}$ . $\Box$

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$^{1}$ Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados , dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta.