Deje $X$ $Top(X)$ ser la categoría de abrir conjuntos de $X$ con la inclusión de mapas como morfismos. Deje $\mathcal{C}$ ser abelian categoría y $\mathcal{C}_x$ denotar la categoría de contravariante functors de$Top(X)$$\mathcal{C}$. Deje $\mathcal{F}$$\mathcal{G} \in obj(\mathcal{C}_x)$. Quiero demostrar que el producto de $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ existen. Permítanos $\mathcal{F} \times \mathcal{G}(U)=\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U)$. Quiero mostrarles este es el producto directo. Deje $\mathcal H \in \mathcal{C}_x$ natural tranformations $i_1$$i_2$$\mathcal{F}$$\mathcal{G}$. Ahora, sé que no es la única transformación natural $\eta$$\mathcal H$$\mathcal{F} \times \mathcal{G}$, ya que hay un único mapa de $\mathcal H(U)$ $\mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U)$para cualquier conjunto abierto $U$. Pero, ¿cómo puedo demostrar que connaturalidad cuadrado de $\eta$ viajes?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por la connaturalidad de la plaza que significa el diagrama que se obtiene con respecto a algunas de inclusión $V \to U$? Si es así, a continuación, iniciar con $x \in \mathcal H(U)$, empuje $x$ con $i_1$$i_2$$y \in \mathcal F(U)$$z \in \mathcal G(U)$. Por connaturalidad de $i_1$ $i_2$ empujando $x|_V$ a través de $i_1$ $i_2$ rendimientos $y|_V$$z|_V$.
Ahora por la definición de los mapas de $\mathcal H(U) \to \mathcal F(U) \times \mathcal G(U)$ tenemos que $x$ $(y, z)$ $x|_V$ $(y|_V, z|_V)$ y por la definición de las restricciones de $\mathcal{F \times G}$ tenemos que $(y, z)|_V = (y|_V, z|_V)$, lo $\mathcal{H \to F \times G}$ es natural.
Definitivamente, usted debe sacar un gran diagrama en papel y traza a través de lo que he dicho aquí para asegurarse de que usted entiende porque puede ser confuso al principio, pero una vez que se verá que no es más que un diagrama de chase.
