Cuatro números enteros para expresar todos los números enteros de 1 a 40

Question

Vamos $a$, $b$, $c$, y $d$ cuatro enteros tales que $0 <a <b <c <d$. Podemos obtener todos los números enteros de $1$ $40$por las expresiones que contienen o no solo los números de la $a, b, c$$d$. En estas expresiones $a, b​​, c$ $d$ no aparecen más de una vez, y en las expresiones que utilizan más de uno de estos números sólo la suma y / o resta son permitidos. Determinar el $a, b​​, c$$d$.

He encontrado estos números, pero no en una forma elegante. Me pregunto si alguien sabe algún método más apropiado para abordar ese problema.

Editar: No es lo suficientemente claro para mí por qué {1,3, 9, 27} es el único conjunto que resuelve el problema. Si se dijo en el problema de "obtener todos los números enteros del 1 al 38", entonces no sería de al menos tres soluciones para este problema: {1, 3, 9, 25}, {1, 3, 9, 26} y {1, 3 , 9, 27}.

Answer 1

El truco es tratar de encontrar un conjunto de números que le permite escribir un montón de números como la suma y la diferencia, sin que se superpongan.

$$\begin{array}{cc} \mbox{set of numbers} & \mbox{the numbers you can reach with them}\\ \left\{ 1\right\} & \underbrace{\overset{-1}{\star}\overset{0}{\star}\overset{1}{\star}}_{3}\\ \left\{ 1,3\right\} & \underbrace{\overset{-4}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}}_{3}\underbrace{\overset{}{\star}\overset{0}{\star}\overset{}{\star}}_{3}\underbrace{\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{4}{\star}}_{3}\\ \left\{ 1,3,9\right\} & \underbrace{\overset{-13}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}}_{9}\underbrace{\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{0}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}}_{9}\underbrace{\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{13}{\star}}_{9}\\ \left\{ 1,3,9,27\right\} & \underbrace{\overset{-40}{\star}\cdots\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\cdots\overset{}{\star}}_{27}\underbrace{\overset{}{\star}\cdots\overset{}{\star}\overset{0}{\star}\overset{}{\star}\cdots\overset{}{\star}}_{27}\underbrace{\overset{}{\star}\cdots\overset{}{\star}\overset{}{\star}\overset{}{\star}\cdots\overset{40}{\star}}_{27} \end{array}$$

En cada paso por encima de si yo había añadido un número menor para el conjunto, no sería la superposición, y la más alta alcanzable número sería menor. (De ahí que no llegaría hasta 40) Si yo hubiera elegido un número mayor, me gustaría ser la que faltan algunos números.

Answer 2

$\{1,3,9,27\}$ puede expresar todos los números de $-40$ $40$en la forma solicitada. Ver a @Jirki del enlace para una explicación de por qué estos números son seleccionados. Esto se llama una equilibrada ternario de la representación.