Por qué $W^{2,n}_\text{loc}(\Omega)\hookrightarrow W^{1,q}_\text{loc}$ todos los $q>0$?

Question

He visto que $W^{2,n}_\text{loc}(\Omega)\hookrightarrow W^{1,q}_\text{loc}$ todos los $q>0$ donde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. Yo sé que por las desigualdades de Sobolev $W^{1,p}(\Omega)\subset C^{0,1-n/p}$ si $p>n$(Supongamos $\Omega$ suave si es necesario). A continuación, $u \in C^{0,\alpha}$ todos los $\alpha \in (0,1)$ si $u$ $W^{1,p}$ todos los $p>n.$

Answer 1

Hay una errata en la pregunta o en su fuente. Es cierto que $W^{2,n}$ incrusta en $W^{1,q}$ (no $W^{2,q}$ )$q<\infty$, en suave dominios. Esto es sólo el Sobolev la incrustación de aplicar a la primera derivados. De ello se desprende que $W^{2,n}_{\rm loc}(\Omega) \subseteq W^{1,q}_{\rm loc}(\Omega)$, mediante la aplicación de los anteriores a bolas compacto contenido en $\Omega$.

Su conclusión acerca de la $C^{0,\alpha}$ es correcta.