Podemos demostrar que $\lim_{n\to\infty} \frac{1^{n_0}+2^{n_0}+\cdots+n^{n_0}}{n^{n_0+1}}$ es finito para cualquier $n_0\in\Bbb N$ sin un cálculo directo?

Question

Podemos probar sin cálculo directo que este límite es finito para cualquier número natural $n_0 \in \mathbb{N}$?

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n_0}+2^{n_0}+\cdots+n^{n_0}}{n^{n_0+1}} $$

Answer 1

El numerador se puede expresar como un polinomio $P(n)$ grado $n_0+1$, debido a $P(n)-P(n-1)=n^{n_0}$ es un polinomio de grado $n_0$.

Por lo que el límite de $$\dfrac{P(n)}{n^{n_0+1}}$$ es finito.

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Por el Faulhaber fórmulas, el límite es de $\dfrac1{n_0+1}$.

Answer 2

Para un entero positivo $k\leq n$ hemos $$\int_{k-1}^kx^{n_0}dx<k^{n_0}<\int_k^{k+1}x^{n_0}dx.$$ Now add from $k=1$ to $k=n.$

Answer 3

Método alternativo: Cesàro-stolz teorema [si has aprendido].

Answer 4

Voy a usar las $p$ en lugar de $n_0$. El número que usted está interesado en: $$ L_p=\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}} $$ Alternativamente, al excluir $1/n$, podemos escribir: $$ L_p=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^p $$ El plazo en el límite es de un promedio de $n$ de los valores de todos los que están en $[0,1]$, siempre $p>0$. La función de límite de sí mismo, entonces debe estar acotada a este intervalo.

Esto no demuestra que el límite existe, pero siempre lo hace, debe de ser en la unidad de intervalo.

Answer 5

He aquí un completo elemental de la prueba que sólo utiliza De Bernoulli de la desigualdad.

$\begin{array}\\ (x+1)^m-x^m &=x^m((1+1/x)^m-1)\\ &\ge x^m(1+m/x-1) \qquad\text{by Bernoulli}\\ &=mx^{m-1}\\ \end{array} $

Por lo tanto $\sum_{k=0}^{n-1} k^{m-1} \le \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{m}((k+1)^m-k^m) =\frac1{m}n^m $ así, para $m \ge 2$, $\sum_{k=1}^{n} k^{m-1} \le n^{m-1}+\frac1{m}n^m $ o $\frac1{n^m}\sum_{k=1}^{n} k^{m-1} \le \frac1{n^m}(n^{m-1}+\frac1{m}n^m) =\frac1{n}+\frac1{m} $ que es acotada.

Usted tiene que trabajar un poco más para mostrar que $\frac1{m}$ es el límite real.