Cadenas especiales en $\mathbb{R}^n$

Question

Tuvimos una topología de examen de ayer, donde la siguiente pregunta era:

Probar o refutar que hay una cadena (ordenado por la inclusión del conjunto) de subconjuntos discretos de $\mathbb{R}^n$ que contiene una cantidad no numerable de elementos. Por un conjunto discreto, uno se refiere a un conjunto en el que cada punto es un punto aislado. Para aclarar, cada elemento de la cadena debe ser un subconjunto discreto de $\mathbb{R}^n$, y la cadena sí mismo debe contener countably/una cantidad no numerable de elementos.

Yo soy muy curioso en cuanto a lo que la respuesta es. Intuitivamente, me parece que el más grande de la cadena debe consistir de elementos contables, pero no tengo idea de cómo proceder con la prueba. Voy a estar agradecido por todas las ideas.

Answer 1

(Estoy tomando la lectura de la cadena de sí mismo es incontable, no de los conjuntos que aparecen en la cadena)

Tenga en cuenta que $\mathbb{N}^n$ es un infinito discreto subconjunto de $\mathbb{R}^n$, y por lo tanto, también lo es cualquier subconjunto. Por lo tanto, si podemos encontrar un sinnúmero de cadena en $\mathcal{P}(\mathbb{N}^n)$ hemos terminado.

Como $\mathbb{N}^n$ es contable y no nos importa nada interal de la estructura, se puede reemplazar con cualquier contables de conjunto que nos gusta, y busca una cadena en su powerset. En particular, se puede buscar una cadena en $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$. Pero luego, cada una de las $r\in \mathbb{R}$ determina un subconjunto único de $\mathbb{Q}$: $$D_r = \{ q\in\mathbb{Q} : q<r\} $$ Claramente si $r_1 < r_2$$D_{r_1}\subsetneq D_{r_2}$. Así que, a continuación, $\{D_r : r\in \mathbb{R}\}$ es una cadena en la $\mathbb{Q}$ de tamaño de continuo, y por lo que estamos por hacer.

El por encima de la construcción es el estándar de Dedekind de corte método de construcción de $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$.