¿La integral de PDF de multi-distribución normal en el trimestre aviones tienen una forma cerrada?

Question

Estoy interesado en encontrar una solución de forma cerrada (que sospecho que no existe) a la siguiente integral

$$\displaystyle \int _a^{\infty }\int _b^{\infty } \frac{\exp \left(-\frac{x^2+y^2-2 c x y}{2 \left(1-c^2\right)}\right)}{2 \pi \sqrt{1-c^2}} dy dx$$

que corresponde a la integral de la PDF$(x,y)$ de un multiNormalDistribution (de covarianza coeficiente de $c$) durante el trimestre avión $x>a$$y>b$. Aquí $a$ $b$ son positivos y $0<c<1$ (y sé que existe una solución para $a=b=0$, pero esto no es suficiente para mi propósito).

Más generalmente, yo estaría interesado en la $3$D generalización de este problema.

He intentado en Mathematica fue en vano.

Saludos,

Answer 1

Genéricamente, la función de distribución acumulativa de la multivariante de Gauss vector no es expresable en términos de cdf de la variable aleatoria normal estándar $\Phi(x)$. El libro de Alan Genz y Frank Brentz, "Cálculo de la Normal multivariante y t Probabilidades" es una buena referencia sobre el tema.

Para una estándar 2D vector Gaussiano $(X,Y)$ con el coeficiente de correlación de $-1 < \rho <1$, la probabilidad de $ \mathbb{P}(X>a,Y>b) $ puede ser expresada en términos de Owen T-función.

Por la forma en Mathematica v8 tiene incorporado un soporte para multi-distribución normal con especial eficiente de los casos de 2D y 3D Gussian azar vectores, ver BinormalDistribution (ref-página), y MultinormalDistribution (ref-página), y OwenT (ref-page).