Escribe la fórmula de la matriz en términos de números de Fibonacci

Question

¿Cómo podría expresar esta matriz en términos de números de Fibonacci? Parece que tendría que utilizar la inducción una vez que tenga un candidato para una fórmula, pero no estoy seguro de por dónde empezar a expresar la matriz en términos de números de Fibonacci.

Gracias de antemano.

Dejemos que $T:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R^2}$ sea un mapa lineal tal que

$$T\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} y\\ x+ y\\ \end{array} \right)$$

utilizando la base $\beta=\{e_1,e_2\}$

$$e_1=\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right),\quad e_2=\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right)$$

Escribe una fórmula para la matriz $$ [T^n]_\beta, \forall n\in\mathbb{N}$$ en términos de números de Fibonacci.

Answer 1

Intentemos hacerlo por $n = 1$ . En ese caso, $T(e_1) = e_2$ y $T(e_2) = e_1 + e_2$ , por lo que se obtiene la matriz $\begin{pmatrix}0 \quad 1 \\ 1 \quad 1\end{pmatrix}$ para $T$ .

Si tenemos que encontrar $T^n$ ahora, lo primero que hacemos es encontrar algunas potencias elementales de $T$ . Intentemos encontrar $T^2$ : $$ T^2 = \begin{pmatrix}1 \quad 1\\ 1 \quad 2\end{pmatrix}, T^3 = \begin{pmatrix}1 \quad 2\\ 2 \quad 3\end{pmatrix},T^4 = \begin{pmatrix}2 \quad 3\\ 3 \quad 5\end{pmatrix} $$ Así que el patrón, como se puede ver claramente, es que $T^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} \quad F_n \\ F_{n} \quad F_{n+1}\end{pmatrix}$ .

Lo mejor que podemos hacer es demostrarlo por inducción : Nótese que $T\begin{pmatrix}F_{n-1} & F_{n}\\ F_{n} & F_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n} & F_{n+1} \\ F_{n-1} + F_n & F_{n} + F_{n+1}\end{pmatrix}$ De donde se puede concluir.

Answer 2

$T(e_1)=e_2$ y $T(e_2)=(1,1)$ por lo que la matriz está formada por las columnas $T(e_1)$ y $T(e_2)$ : $$T:=\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix}$$

Tenga en cuenta que $$T^n=\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{n-1}&F_n\\F_n & F_{n+1} \end{pmatrix}.$$

Dónde $F_0=0$ y $F_1=1$ . Puedes comprobarlo por inducción:

$$T^{n+1}=\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n-1}&F_n\\F_n & F_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_n& F_{n+1}\\F_{n-1}+F_n&F_n+F_{n+1}\end{pmatrix}$$

Pero $F_{n-1}+F_n=F_{n+1}$ y $F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}$ por definición.