Mostrar que si $x\geq 0$ $n$ es un postive entero, $\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor {x+\frac{k}{n}}\right\rfloor=\lfloor {nx}\rfloor$

Question

Necesito ayuda con esta pregunta, donde $\lfloor x\rfloor$ significa que la función del suelo de $x$.

Mostrar que si $x\geq 0$ $n$ es un postive entero, $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n} \right\rfloor =\lfloor nx\rfloor$$

Answer 1

Aquí es una solución que vi hace muchos, muchos años y realmente el amor:

Deje $f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor -\lfloor nx\rfloor$.

Entonces $$f(x+\frac{1}{n})= \sum_{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}+\frac{1}{n}\rfloor -\lfloor nx+1\rfloor= \sum_{k=1}^{n}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor -\lfloor nx\rfloor -1 $$ $$=\sum_{k=1}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor +\lfloor x+1 \rfloor-\lfloor nx\rfloor -1 =\sum_{k=1}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor +\lfloor x \rfloor-\lfloor nx\rfloor =f(x) $$

Por lo tanto $f$ es periódica con período de $\frac{1}{n}$.

Por otra parte, si $x \in [0, \frac{1}{n})$

$$f(x)=\sum_{k=1}^{n-1}0-0=0 \,.$$

Por lo tanto $f$ es periódica con período de $T=\frac{1}{n}$ y cero en $[0,T)$, por lo tanto $f$ es la función cero.

Answer 2

Por $x\in{\mathbb R}$ escribir $$x=j+{r\over n}+\xi\qquad{\rm with}\qquad j\in{\mathbb Z}, \quad 0\leq r<n, \quad 0\leq\xi<{1\over n}\ .$$ Entonces $$\lfloor nx\rfloor=\lfloor nj + r+n\xi\rfloor=nj+r\ .$$ En el otro lado $$\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor=\left\lfloor j+{r+k\over n}\right\rfloor=\cases{j\quad&$(0\leq k<n-r)$ \cr j+1\quad&$(n-r\leq k<n)$\cr}$$ y por lo tanto $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{k\over n}\right\rfloor= nj + r\ ,$$ como se indicó anteriormente.

Answer 3

La idea principal de la prueba es la división de la $x$ en número entero y parte fraccionaria. Es decir, $x=\lfloor x \rfloor+{x}$ y existe exactamente una $k' \in \{1,2, \dots n \}$.

$$\lfloor x\rfloor=\left \lfloor x+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le x\left\lfloor x+\frac{k'}{n}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor+1 $$

Restando $\lfloor x \rfloor$ a partir de la ecuación daría:

$$\left\lfloor \{x\}+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le \{x\} \left\lfloor \{x\}+\frac{k'}{n}\right\rfloor=1$$

$$1-\frac{k'}{n}\le \{x\} < 1-\frac{k'-1}{n}$$

Multiplicarse $n$ a lo largo.

$$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor =\sum_{k=0}^{k'-1} \lfloor x\rfloor+\sum_{k=k'}^{n-1} (\lfloor x\rfloor+1)=n\, \lfloor x\rfloor+n-k'$$

$$=n\, \lfloor x\rfloor+\lfloor n\,\{x\}\rfloor=\left\lfloor n\, \lfloor x\rfloor+n\, \{x\} \right\rfloor=\lfloor nx\rfloor$$

Fuente: Hermite de la Identidad.