Prueba diferencial de inducción

Question

Así que estaba haciendo una prueba de inducción que contenía un diferencial. Ahora he superado la mayor parte, pero por último, para completar la prueba, tenía que demostrar

$$\frac{d^k }{dx^k}x^k=k!$$ Ahora no necesito hacer esto a través de la inducción o algo así es sólo que dentro de la prueba de inducción real esta declaración estaba allí y con el fin de demostrar la $(k+1)$ -en el término que necesito para mostrar esto.

Puedo ver cómo podría ocurrir esto:

$\frac{d }{dx}x^k = k(x^{k-1})$

$\frac{d^2 }{dx^2}x^k = k(k-1)x^{k-2}$ .. ... .. Hasta que al final conseguiría

$k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot (k-3)\cdot ... \cdot x^{k-k}$

Que a su vez sería $k!$

Sin embargo, ¿hay alguna forma mejor de demostrarlo, como una prueba más formal o mejor estructurada?

Answer 1

Otra forma : supongamos que $\frac{d^n}{dx^n}(x^n) = n!$ para algunos $n\in\mathbf N$ . Entonces: $$\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}(x^{n+1}) = \frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{d}{dx}(x^{n+1})\right) = \frac{d^n}{dx^n}((n+1)x^n) = (n+1)\frac{d^n}{dx^n}(x^n) = (n+1)n! = (n+1)!$$ Ahí hay que conocer la primera derivada de $x^n$ para cualquier $n$ que se puede demostrar... por inducción, conociendo la derivada de un producto y la derivada de $x$ y $1$ :-)

Answer 2

Has escrito que no es necesario hacerlo por inducción, pero es una buena forma de hacerlo. Lo que quiero decir con esto es que puedes demostrar por inducción en $k$ que $\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}x^n=n(n-1)\cdots(n-k+1)x^{n-k}$ , donde $n\geqslant k$ . Si $k=1$ Esto es sólo la afirmación de que $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}x=1$ . Supongamos que es cierto para algunos $k$ . Entonces \begin {align} \frac { \mathrm d^{k+1}}{ \mathrm dx^{k+1}}x^n&= \frac { \mathrm d}{ \mathrm dx} \left ( \frac { \mathrm d^k}{ \mathrm dx^k}x^n \right ) \\ &= \frac { \mathrm d}{ \mathrm dx} \left (n(n-1) \cdots (n-k+1)x^{n-k} \right ) \\ &=n(n-1) \cdots (n-k+1)(n-k)x^{n-k-1} \end {align}