Estimación de la fracción continua del error en las series de Leibniz para $\pi$ .

Question

La siguiente fórmula arctánica para $\pi$ es bastante conocido $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\tag{1}$$ y lleva el nombre de Serie Madhava-Gregory-Leibniz con el nombre de sus descubridores. La fórmula tiene una fácil demostración a través de la integración. Al leer un artículo de Ranjan Roy titulado "El descubrimiento de la fórmula de la serie para $\pi$ por Leibniz, Gregory y Nilakantha". Me sorprendió encontrar ese error de aproximación a través de $n$ términos de la serie $(1)$ puede expresarse en términos de una fracción continua estudiada por ambos Rogers y Ramanujan .

Dejemos que $$f(x) = \cfrac{1}{x +\cfrac{1^{2}}{x +\cfrac{2^{2}}{x +\cfrac{3^{2}}{x + \cdots}}}}\tag{2}$$ para $x > 0$ y que $n$ sea un número entero positivo. Definamos $S_{n}$ por $$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n}(-1)^{i - 1}\cdot\frac{1}{2i - 1}$$ para que $S_{n}$ es el $n^{\text{th}}$ suma parcial de series $(1)$ . Entonces tenemos la fórmula $$\frac{\pi}{4} = S_{n} + (-1)^{n}\cdot\frac{f(2n)}{2}\tag{3}$$ La fórmula anterior es tan maravillosa que los primeros 2-3 convergentes de la fracción continua $(2)$ son suficientes para dar una muy buena aproximación a $\pi$ para valores pequeños de $n$ . Por ejemplo, si $n = 4$ para que $$S_{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{2}{3} + \frac{2}{35} = \frac{76}{105}$$ y tomando la 3ª convergencia de $f(8)$ vemos que $$f(8) \approx \cfrac{1}{8 +\cfrac{1^{2}}{8 +\cfrac{2^{2}}{8}}} = \frac{17}{138}$$ y por lo tanto $$\frac{\pi}{4} = S_{4} + \frac{f(8)}{2} \approx \frac{76}{105} + \frac{17}{276} = 0.78540372670807$$ que es mayor que $\pi/4$ por aproximadamente $5.5 \times 10^{-6}$ para que la aproximación sea realmente grande.

Me gustaría saber la prueba de identidad $(3)$ . Cualquier referencia para la prueba también sería útil.

Actualización : ¡Lo siento, gente! Encontré la respuesta yo mismo cuando usé la información en el enlace relacionado sobre la fracción continua $f(x)$ . Vea mi respuesta más abajo.

Por otro lado estaría más que feliz si podemos obtener una prueba de $(3)$ sin utilizar la prueba de Rogers mencionada en mi respuesta. Tal vez había alguna prueba más simple disponible con Nilkantha.

Answer 1

Tenemos \begin{align} \frac{\pi}{4} &= \int_{0}^{1}\frac{dt}{1 + t^{2}}\notag\\ &= \int_{0}^{1}\left(1 - t^{2} + \cdots + (-1)^{n - 1}t^{2n - 2} + (-1)^{n}\frac{t^{2n}}{1 + t^{2}}\right)\,dt\notag\\ &= 1 - \frac{1}{3} + \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{1}{2n - 1} + (-1)^{n}\int_{0}^{1}\frac{t^{2n}}{1 + t^{2}}\,dt\notag\\ &= S_{n} + (-1)^{n}g(n)\text{ (say)}\notag \end{align} Entonces tenemos \begin{align} g(n) &= \int_{0}^{1}\frac{t^{2n}}{1 + t^{2}}\,dt\notag\\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2nz}}{1 + e^{-2z}}\frac{dz}{e^{z}}\text{ (by putting }t = e^{-z})\notag\\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2nz}}{\cosh z}\,dz\notag\\ &= \frac{f(2n)}{2}\notag \end{align} Tenemos $$f(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-zx}}{\cosh z}\,dz$$ desde aquí .

Nota : Aunque la única prueba de la relación entre la fracción continua $f(x)$ y la integral correspondiente que tengo es la de Rogers (ver la pregunta enlazada para más detalles sobre el trabajo de Rogers), creo firmemente que la fracción continua $f(x)$ también era conocido por Nilkantha. De hecho Ranjan Roy menciona en su artículo (referido en mi pregunta) que Nilkantha utilizó "algún procedimiento" que daba convergentes sucesivos a la fracción continua $f(x)$ . Por lo tanto, creo que Nilkantha tenía una prueba de la relación entre la fracción continua $f(x)$ y su representación integral mucho antes de Rogers (digamos que en el siglo XV-XVI).