Integración por Cambio de Variable

Question

Mediante el cambio de variable, $$x+y=(\surd2)u \text { and } y-x=(\surd2)v$$

Evaluar $$I=\iint(y-x)^2e^{-(x+y)^2}dv\,du$$

con $R$ delimitada por $x=0,y=0,x+y=1$

Después del cambio de variable, obtengo $$\int_0^{1/\surd2}\int_{-u}^u2v^2e^{-2u^2}dv\,du=\frac{4}{3}\int_0^{1/\surd2}u^3e^{-2u^2}\,du$$

No puedo resolver la ecuación después de esa parte. Me ayudan a comprobar que parte hice error. Gracias.

Answer 1

Deje $t=-2u^2$. A continuación, $u\,du = -\frac{1}{4}dt$, de modo que \begin{align} \frac{4}{3}\int_0^{1/\surd2}u^3e^{-2u^2}\,du &= \frac{4}{3}\int_0^{1/\surd2}u^2e^{-2u^2}\,u\,du \\ &= \frac{4}{3} \int_0^{-1} \left(-\frac{1}{2}t\right)\,e^t \left(-\frac{1}{4}\right)dt \\ &= \frac{1}{6}\int_0^{-1} t\,e^t \, dt. \end{align} Esta última integral se puede hacer por partes.

Answer 2

Sugerencia:Utilice $w = u^2$. A continuación,$dw = 2u\ du$, por lo que

$$\frac{4}{3 \dot\ 2}\int_{0}^{\frac{1}{2}} w e^{-2w} dw $$

Ahora use integración por partes. Espero que le puedas sacar de aquí.