Canónica divisor en curva algebraica

Question

Alguien me puede ayudar con este problema?

Deje $D$ ser un divisor en una curva algebraica $X$ de género $g$, de tal manera que $\deg D = 2g-2$$\dim L(D) = g$. A continuación, $D$ debe ser un divisor canónico.

Por Riemann-Roch, veo que $\dim L(K-D) = 1$ para cualquier canónica divisor $K$, como sin duda debe ser el caso. No sé si esto es demasiado útil.

Answer 1

Un divisor de grado $0$ y dimensión $1$ es la directora. Por lo tanto, por supuesto, y de Riemann-Roch el divisor $K-D$ que es lo principal, de modo que $D$ es linealmente equivalente a la canónica divisor $K$.

Answer 2

En "Curvas Algebraicas" por Fulton, p.212/213 se muestra que $l(K-D)$ es igual a la dimensión de $\{ \omega\in \Omega : {\rm div} (\omega)>D\}$. En nuestro caso, esta dimensión es igual a 1. Por lo tanto existe una no-cero diferencial $\theta$ ${\rm div}(\theta)>D$ . Pero ${\rm div}(\theta)$ $D$ tiene el mismo grado, es decir,$2g-2$. De ello se desprende que ${\rm div}(\theta)=D$ $D$ es un divisor canónico.