El uso de la Épsilon-Delta definición de un límite

Question

El uso de la definición de un límite para demostrar que:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} (x+y)\sin\left(\frac{1}{x}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0$$

Id apreciar el proceso de pensamiento detrás de la solución, la epsilon-delta definición nunca tiene sentido en mi cabeza.

Answer 1

Deje $\epsilon>0$. Tome $\delta=\frac{\epsilon}{2}$. Deje $(x,y)\in\Bbb R^2$ tal que $0<|(x,y)-(0,0)|<\delta$. Esto significa que $$0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}<\delta.$$ Obtenemos $$x^2\leq x^2+y^2<\delta^2\quad\text{and }\quad y^2\leq x^2+y^2<\delta^2.$$ Thus, $$|x|<\delta\quad\text{and}\quad |y|<\delta.$$ Por lo tanto, $$\begin{align} \bigg|\bigg[(x+y)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}\bigg]-0\bigg|&=|x+y|\cdot\bigg|\sin\frac{1}{x}\bigg|\cdot\bigg|\cos\frac{1}{x}\bigg|\\ &\leq |x+y|\\ &\leq |x|+|y|\\ &<\delta+\delta=2\delta=\epsilon. \end{align} $$ Por lo tanto, $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} (x+y)\sin\left(\frac{1}{x}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$$

Answer 2

Aquí es el proceso de pensamiento de la manera de trabajar de un $\,\delta\,$

$\left.\right.$

Para todos los $\,\varepsilon>0$, tenemos que encontrar una $\,\delta\,$ tal que para todos los $\,(x,y)\,$ con

$$\sqrt{x^2+y^2}<\delta$$

tenemos

$$\left|\,(x+y)\sin\left(\frac1x\right)\cos\left(\frac1x\right)\,\right|<\varepsilon$$

Para encontrar un $\,\delta$, tenemos que insertar algo entre $\,\varepsilon\,$, y la izquierda de valor absoluto en la desigualdad anterior. Observar que $\,|\sin(1/x)|\leq1,|\cos(1/x)|\leq1\,$, por lo que podríamos insertar $\,|x+y|$ por debajo de

$$\left|\,(x+y)\sin\left(\frac1x\right)\cos\left(\frac1x\right)\,\right|\leq|x+y|<\varepsilon$$

Siguiente, ya $\,|x+y|\leq|x|+|y|\leq2\sqrt{x^2+y^2}$, podríamos insertar $\,2\sqrt{x^2+y^2}\,$ nuevo de la siguiente

$$|x+y|\leq2\sqrt{x^2+y^2}<\varepsilon$$

Ahora ya $\,\sqrt{x^2+y^2}<\delta\,$, finalmente se inserte $\,\delta\,$ en la desigualdad,

$$2\sqrt{x^2+y^2}<2\delta\leq\varepsilon$$

Por lo tanto, aquí es $\,0<\delta\leq\varepsilon/2\,$ y podemos simplemente dejar que

$$\delta=\frac\varepsilon2$$

Y esa es la respuesta

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Este es sólo el pensamiento, por lo que necesita para revertir todo el proceso para obtener una respuesta formal, y que ha sido muy bien hecho por Gensan