La simplificación de las sumas

Question

Lo siento por esta interesante pregunta, pero esperemos que alguien puede dar un poco de ayuda.

Es allí una manera de simplificar la siguiente expresión?

$$\binom{n}{m}\sum_{\nu=0}^{n-m}(-1)^{\nu}\binom{n-m}{v}\left(\frac{n-m-v}{n}\right)^{r}\displaystyle \frac{m}{m+v}$$

$$-\binom{n}{m}\sum_{\nu=0}^{n-m}(-1)^{\nu}\binom{n-m}{v}\left(\frac{n-m-v}{n}\right)^{r}$$

Esta es una sugerencia para un problema, pero no sé cómo proceder.

ACTUALIZACIÓN: ¿te molesta si me agregue el problema original?. Tal vez un poco de contexto es necesaria a fin de resolver este problema mediante el uso de esta sugerencia.

Answer 1

En un vistazo rápido, parece que hay algunos factores comunes a la suma de dos y que el factoring es probable que la ayuda en la simplificación. Además, dado que las sumatorias tienen el mismo indexación y rango, que podrían ser combinadas en una sola suma.

Answer 2

Lo dudo, el caso de $m=0$ daría una fórmula más simple para los números de Stirling del segundo tipo.

$$n!\ S(r,n) = \sum_{v = 0}^{n} (-1)^{v} {n \choose v} (n-v)^{r}$$

Tal vez usted puede escribir su expresión en términos de estos números...