Anillos no conmutativos sin identidad

Question

Estoy buscando ejemplos (si los hay) de anillos no conmutativos sin identidad multiplicativa que tengan las siguientes propiedades:

1) finito con divisores cero

2) infinito con divisores cero

3) finito sin divisores cero

4) infinito sin divisores cero

Agradeceré cualquier ejemplo o sugerencia. Gracias de antemano.

Answer 1

Como se indica en el comentario de Jared, se pueden encontrar ejemplos fáciles de 1), 2) y 4) tomando subrubros no unitales (como ideales de la izquierda o ideales de dos lados) de anillos con identidad.

La petición más interesante aquí es la 3). De hecho, cualquier anillo asociativo finito no nulo $R$ (posiblemente sin identidad) sin divisores cero es un campo .

Primero, demostremos que $R$ de hecho tiene una identidad. Sea $a \in R$ sea un elemento no nulo. La función $f \colon R \to R$ definido por $\phi(x) = ax$ es inyectiva, y como $R$ es finito, es una biyección. De nuevo, porque $R$ es finito, esta biyección debe tener orden finito. Por lo tanto, para algún $d$ la función $\phi^d(x) = a^d x$ es la identidad. De ello se desprende que $a^d \in R$ es un elemento de identidad.

Llegados a este punto, es un ejercicio estándar demostrar que un anillo finito con identidad y sin divisores cero es un anillo de división. (Sugerencia: piensa en la función anterior para cualquier $a \in R$ .) Y El pequeño teorema de Wedderburn afirma que cualquier anillo de división finito es un campo.