Actualmente estoy tomando una clase de Álgebra Lineal en español y tengo dificultades para encontrar la traducción correcta para lo que estamos estudiando. Estoy viendo una pregunta que pide la rotación del vector \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} onto \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} La matriz \begin{bmatrix}cos(x)&-sin(x)\\sin(x)&cos(x)\end{bmatrix} se utiliza en el proceso de cálculo. ¿Alguien está familiarizado con este tema? ¿Cuál es el nombre correcto en inglés de este proceso?
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egreg
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Sólo tienes que calcular $$ \begin{bmatrix} \cos x&-\sin x\\ \sin x&\cos x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} $$ que se convierte en $$ \begin{bmatrix} \cos x+\sin x\\ \sin x-\cos x \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. $$ Esto significa que $\sin x=\cos x$ Así que $\tan x=1$ y $x=\pi/4$ o $x=5\pi/4$ . Como la segunda solución sólo corresponde a un cambio de signo en $\lambda$ podemos ceñirnos a $x=\pi/4$ . Entonces $$ \lambda=\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}. $$
No hay ninguna rotación pura que transforme $[1\quad{-1}]^T$ en $[1\quad0]^T$ ya que tienen normas diferentes.
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Tomando $\;x=\frac\pi4\;$ obtenemos:
$$A:=\begin{pmatrix}\cos x&\!\!-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&\!\!-1\\1&1\end{pmatrix}\implies$$
$$A\binom1{\!\!-1}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&\!\!-1\\1&1\end{pmatrix}\binom1{\!\!-1}=\frac1{\sqrt2}\binom20=\binom{\sqrt2}0$$
Observa que ahora tienes que aplicar una matriz de "contracción":
$$\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0\\0&1\end{pmatrix}\binom{\sqrt2}0=\binom10$$
así que, en general, su matriz es
$$\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0\\0&1\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}\frac{\cos x}{\sqrt2}&\!\!-\frac{\sin x}{\sqrt2}\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}$$
