¿Por qué$ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} dz = \eta( f \circ \gamma, 0) $ ($ \gamma $ es una curva cerrada regular)

Question

El otro día, mi maestro escribió la ecuación anterior en la pizarra y actuó como si fuera obvio. Aquí,$ \eta $ es el número de bobinado de$ f \circ \gamma $. Aquí está la justificación que dio:

PS

Creo que le puede faltar un$$ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} dz = \frac{1}{2\pi i} \int_{a}^{b} \frac{f'(z(t))}{f(z(t))} z'(t)\ dt = \int_{f \circ \gamma}\frac{1}{\zeta} d\zeta = \eta( f \circ \gamma, 0) $, ya que la última igualdad se derivaría del Teorema del residuo de Cauchy si se colocara un$ \frac{1}{2\pi i} $ frente a la integral. Lo que realmente no entiendo es esta ecuación:

PS

¿Ayuda?

Answer 1

Esta última parte proviene de la parametrización de la curva$f\circ\gamma$. Si$\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ es una parametrización de$\gamma$, entonces$f\circ\gamma;[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ es una parametrización de la imagen de$\gamma$ debajo de$f$. Así, la integral.

PS

Se puede evaluar de la forma habitual por

PS

El$$\int_{f \circ \gamma}\frac{1}{\zeta} d\zeta=\int_{f \circ \gamma}\frac{1}{z} dz$ que falta es un error, pero lo anterior es el trabajo real que se está realizando en esa sustitución.