Mostrando dos extensiones de campo son iguales

Question

Considera la extensión finita $F/K$, [$F:K$]=15. Supongamos que para algún $\gamma\in F$, $F=K(\gamma) Quiero demostrar que $F=K(\gamma^{2}+1)$.

Dado que la extensión es finita, en particular es algebraica. Por lo tanto, creo que siempre que demuestre que tanto $\gamma$ como $\gamma^{2} +1$ satisfacen el mismo polinomio minimal, la conclusión seguirá. ¿Es esto correcto? Además, no veo la importancia que el grado de la extensión está teniendo, agradecería también una pista al respecto.

Answer 1

Sería cierto, de hecho, que si $\gamma$ y $\gamma^2+1$ satisfacen el mismo polinomio minimal, entonces $K(\gamma)\cong K(\gamma^2+1)$ son isomorfos, por lo tanto tienen el mismo grado sobre $K$. Dado que $K(\gamma^2+1)\subseteq K(\gamma)$, la igualdad de grados sería suficiente para demostrar la igualdad de campos.

Pero ese no siempre es el caso. Por ejemplo, si $K=\mathbb{Q}$ y $\gamma=\sqrt[15]{2}$, entonces nota que $\sqrt[15]{4}+1$ no satisface el mismo polinomio minimal que $\gamma$ (tampoco lo hace $\sqrt[15]{4}$).

En cambio, nota que $K(\gamma)$ es una extensión de $K(\gamma^2+1)$, dado que $\gamma^2+1\in K(\gamma)$. Ahora observa que $\gamma$ satisface el polinomio $x^2 -(\gamma^2+1) +1 \in K(\gamma^2+1)[x]$, por lo que el grado de $K(\gamma)$ sobre $K(\gamma^2+1)$ es a lo sumo $2$. ¿Puede ser igual a $2?

Más generalmente:

Proposición. Sea $K$ un campo, y sea $u$ algebraico sobre $K$. Si $[K(u):K]$ es impar, entonces $K(u)=K(u^2)$.

(Conozco dos demostraciones: una elegante usando el Teorema del Producto de Dedekind, y otra computacional directa.)

Puedes deducir lo que quieras después de notar que $K(\gamma^2+1) = K(\gamma^2).