Ejercicio 2.4 Curvas algebraicas de Fulton

Question

Estoy buscando en el ejercicio 2.4 en William Fulton "Curvas Algebraicas". Se pide probar que si $X\subset \mathbb{A}^n$ es no vacío afín variedad, a continuación, los siguientes son equivalentes

1. $X$ es un punto de
2. $\Gamma(X)=k$
3. $dim_k\Gamma(X)<\infty$

Tengo un problema con el 3 lo que implica 1. Supongamos $X$ es la unión de dos puntos, decir $1,2\in\mathbb{A}(\mathbb{C})$. A continuación,$I(\{1,2\})=((x-1)(x-2))$, por lo que

$\Gamma(X)=\mathbb{C}[x]/I(X)=\mathbb{C}[x]/((x-1)(x-2))$, y estoy bastante seguro de que esto tiene dimensión finita como un $\mathbb{C}$ espacio vectorial. Pero sin embargo, nuestra variedad original no es un punto. ¿La pregunta significa tener $X$ es una unión finita de puntos en su lugar? A pesar de que usted hace el número 2 no es del todo correcto.

Gracias por la ayuda

Answer 1

Por el corolario 4 de Nullstellensatz de Hilbert,$V(I(V))=V$ es un conjunto finito, por ejemplo,$\{P_1,\dots,P_r\}$. Por lo tanto,$V=\{P_1\}\cup \dots \cup \{P_r\}$. Dado que$V$ es una variedad afín,$r=1$, y por lo tanto$V$ es un punto.