Divergencia de series de potencias en álgebras de Banach conmutativas.

Question

Deje $(A,||\cdot||)$ ser una de Banach conmutativa álgebra $\mathbb{C}$. Considere la posibilidad de un poder formal de la serie de $f(z):=\sum_{n=0}a_n z^n\in A[[z]]$ y dejar $$ r:=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}||a_n||^{1/n}} $$ Para $b\in A$ denotar por $\rho(b)$ su radio espectral.

Es cierto en general que $f(b)$ es divergente (en el $||\cdot||$-topología) para cualquier $b\in A$$\rho(b)>r$?

Creo que uno puede demostrar fácilmente que en ciertos casos $f(b)$ es divergente si $$ \rho(b)> \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\rho(a_n)^{1/n}}=:R, $$ pero $R$ puede ser mucho más grande que la de $r$.

Answer 1

No, y de manera más general, no puede hacer una declaración en estas líneas que dependa solo de$\rho(b)$. Por ejemplo, deje que$a,b\in A$ sean elementos con un radio espectral distinto de cero tal que$ab=0$. Deje$a_n=c_na$ para algunos escalares$c_n$. Luego,$r$ se puede hacer arbitrario al elegir apropiadamente a$c_n$, pero$f(b)$ siempre convergirá ya que todos los términos después del primer término serán$0$.