Deje $n\ge 3$. Supongamos que la permutación $\alpha$ es de $k$ a $a_k$ ($k=1$ a $n$). Deje $\alpha'$ ser la permutación que se lleva a $k$$(n+1)-a_k$. A continuación, el número de locales máximos (mínimos) de $\alpha$ es el mismo que el número de mínimos locales (maxima) de $\alpha'$. Así, por simetría, el número previsto de los máximos locales y el número esperado de mínimos locales son los mismos.
Si el número esperado de los máximos locales es $\frac{n+1}{3}$, se deduce que el número esperado de puntos que son locales máximos o mínimos locales es $\frac{2(n+1)}{3}$.
Para la integridad, le dará una prueba de que el número esperado de los máximos locales es, de hecho,$\frac{n+1}{3}$.
Su ejemplo muestra que están incluidos extremo de maxima. La probabilidad de que una permutación aleatoria tiene un extremo izquierdo máximo es de $\frac{1}{2}$, y la probabilidad de un extremo derecho máxima es la misma, por lo que el número esperado de extremo maxima es $1$.
Ahora vamos variable aleatoria $Y$ el número de no-extremo de maxima. Para$i=2$$n-1$, vamos a $X_i=1$ si se tiene un máximo local en el $i$-ésima posición, y deje $X_i=0$ lo contrario. A continuación,$Y=X_2+X_3+\cdots+X_{n-1}$, y, por tanto, por la linealidad de la expectativa de
$$E(Y)=E(X_2)+E(X_3)+\cdots +E(X_{n-1}).$$
Ahora nos encontramos con $\Pr(X_i=1)$. En cuenta los números que están en posiciones de $i-1$, $i$, y $i+1$. Hay $3!$ permutaciones de estos números, y, precisamente, $2$ de estas permutaciones dar un máximo local en a $i$. Por lo tanto $\Pr(X_i=1)=\frac{2}{3!}=\frac{1}{3}$.
De ello se desprende que $E(Y)=(n-2)\cdot\frac{1}{3}$. Ahora agregue a la cantidad esperada $1$ de extremo de maxima. Llegamos $(n-2)\cdot\frac{1}{3}+1$, que se simplifica a $\frac{n+1}{3}$.
Observaciones: $1.$ Podemos demostrar directamente que el número de lugares en los que tenemos un local de max o min es $\frac{2(n+1)}{3}$.
Un extremo es siempre un local max o min, dándonos $2$ puntos. Para el resto, si $2\le i\le n-1$, vamos a $W_i=1$ si tenemos un local de max o min en el $i$-ésima posición, y $0$ lo contrario. A continuación, el número de $Z$ de los no-extremo local max o min es $W_2+W_3+\cdots+W_{n-1}$.
La probabilidad de que $W_i=1$$\frac{4}{3!}=\frac{2}{3}$. Por lo tanto $E(Z)=(n-2)\cdot\frac{2}{3}$. Agregar $2$ para los extremos.
$2.$ Se utilizó el método de indicador de variables aleatorias. A menudo es mucho más fácil que encontrar la expectativa de una variable aleatoria por primera búsqueda de su distribución.
