hallazgo

Question

Buenos días a todos, primera vez publicando aquí.

Para mi clase de cálculo, se nos pide que encontremos$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+2x}-1}{x}$ $

Nos dan la pista de que$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $

He intentado varios solucionadores en línea paso a paso, pero todos usan derivados y algo que se llama la regla del "hospital", que aún no hemos aprendido.

Entonces, en conclusión, si alguien pudiera ubicarme en un camino para resolver esto que utilice la sugerencia que incluí, estaría muy agradecido.

Answer 1

Si uno pone$a=\sqrt[3]{1+2x}$,$b=1$ en $$ a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) $$ se obtiene $$ \ sqrt [3] {1 +2x} -1 = \ frac {(1 +2x) -1} {(1 +2x) ^ {2/3} + \ sqrt [3] {1 +2x} +1} = \ frac {2x } {(1 +2x) ^ {2/3} + \ sqrt [3] {1 +2x} +1}$$ giving, as $ x \ to0 $,

$$ \ frac {\ sqrt [3] {1 +2x} -1} {x} = \ frac2 {(1 +2x) ^ {2/3} + \ sqrt [3] {1 +2x} +1} $$

entonces uno puede concluir fácilmente.