Si $f(x,y)$ es continua en $(x_0,y_0)$ entonces hay una vecindad de $(x_0,y_0)$ tal que $f(x,y)>\frac12f(x_0,y_0)$

Question

El ejercicio me pide que demuestre 2 cosas:

1) $f(x,y) $ es continua en $(x_0,y_0)$ , $f(x_0,y_0)>0$ entonces existe una vecindad tal que $f(x,y)>\frac{1}{2}f(x_0,y_0)$

Mi idea:

$f$ es continua, entonces $|(x,y)-(x_0,y_0)|< \delta\implies |f(x,y)-f(x_0,y_0)|< \epsilon \implies f(x_0,y_0) -\epsilon <f(x,y) < f(x_0,y_0) + \epsilon$ . Es cierto para todos $\epsilon$ , por lo que si elijo $\epsilon = \frac{1}{2}f(x_0,y_0)$ que tenemos:

$$\frac{1}{2}f(x_0,y_0)<f(x,y) < f(x_0,y_0) + \frac{1}{2}f(x_0,y_0)$$

2) Supongamos $f$ es continua en un dominio $D$ . Supongamos que $f(x,y)$ es positivo para al menos $1$ punto de $D$ y negativo para al menos un punto de D. Entonces $f(x,y) = 0$ para al menos un punto de $D$ . (sugerencia: utilizar $1$ )

Cómo utilizarlo $1$ para demostrar $2$ ? Según sé, esto puede entenderse como el teorema del valor medio para multivariables, pero no he podido encontrar una demostración que utilice $1$ .

Answer 1

En cuanto a la segunda pregunta.

Por definición, el dominio $D$ es un subconjunto conectado abierto.

Considere $U_+ = \{(x,y) \in D | f(x,y) > 0\}$ y $U_- = \{(x,y) \in D | f(x,y) < 0\}$ .

Por la pregunta 1, $U_+$ y $U_-$ son vecindades de todos sus elementos y, por tanto, subconjuntos abiertos de $D$ . Otro argumento es que son las imágenes inversas de los subconjuntos abiertos de $\mathbb R$ : $(-\infty , 0)$ y $(0,+\infty)$

Si $f$ no se desvanece entonces $D$ es la unión de los dos subconjuntos abiertos no intersecantes $U_+, U_-$ en contradicción con el hecho de que $D$ está conectado. Por lo tanto, $f$ desaparece.