Encuentra el resto cuando$2^{30}\cdot 3^{20}$ se divide por$7$ sin usar la calculadora

Question

Mi pregunta es que cuál será el resto cuando$2^{30}\cdot 3^{20}$ se divide por$7$.

Como será prácticamente absurdo calcular un dígito tan grande, creo que tendremos que usar el teorema del binomio. Pero no tengo idea de cómo empezar con eso.

Además, también quiero informarles a todos que no tengo conocimiento sobre la aritmética modular (método general que se descubrió en SE y otros sitios), así que envíe una alternativa.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Sugerencia: $2^3\equiv1\ \text{mod }7$ y$3^3\equiv-1\ \text{mod }7$.

Edición: Lo único que necesita de la aritmética modular es que$$a\cdot b\ \text{mod }7=(a\ \text{mod }7)(b\ \text{mod }7)\ \text{mod }7, significa que el resto de un producto es el resto del producto de los restos. Esto es evidente porque$a\cdot b$ debe tener el mismo resto que$(a-7k)\cdot(b-7l)$.

Dado que la exponenciación es solo una multiplicación repetida, podemos escribir$$2^{30}\cdot3^{20}=(2^3)^{10}\cdot(3^3)^6\cdot 3^2\equiv1^{10}\cdot(-1)^6\cdot9=9, por lo que el resto es$2$.

Answer 2

Consejo: Usa el teorema del binomio y luego divide por 7.

$2^{30}.3^{20}=2^{20}.3^{20}.2^{10}=1024.6^{20} = 1024 .(7-1)^{20}$

$1024\dot \,(1-7)^{20}=1024[1-^{20}C_1.7+^{20}C_2.7^2+\mathrm{other\ terms}]$

$=1024-^{20}C_1\dot \,7\dot \,1024+^{20}C_2\dot \,7^2\dot \,1024+\ldots+\mathrm{other\ terms}$

Ahora divide por$7$.

AÑADIR:
Sólo para completar la respuesta, supongo.
Como todos los demás términos, excepto los primeros, son divisibles entre 7, su respuesta se encuentra en el primer término solamente.

Answer 3

Esto sigue siendo aritmética modular, solo que no usa el lenguaje:

• $2^6 = 64 = 9·7 + 1$, entonces$$2^{30} = (2^6)^5 = (9·7+1)^5.

• $3^6 = 9·9·9 = 729 = 728 + 1 = 7·104 + 1$, y$3^2 = 9 = 7 + 2$, así que$$3^{20} = 3^2·3^{18} = 3^2 · (3^6)^3 = (7 + 2) ·(7·104 + 1)^3.

Answer 4

$2^{30} = 8^{10} = 1\pmod 7$,$3^{20} = 9^{10} = 2^{10} = 2^9\cdot 2 = 1\cdot 2 = 2\pmod 7 \Rightarrow 3^{20}\cdot 2^{30} = 2\pmod 7$

Answer 5

Primero vamos a entender lo que es la aritmética modular.

Hay un ejemplo, 2 y 7 son desiguales, pero que son equivalentes bajo (mod 5). La notación $2 \text{ mod } 5 = 7 \text{ mod } 5$ significa que cuando dividimos 2 por 5, a continuación, el resto es 2, que es igual al resto cuando nos dividir 7 por 5.

Usted está obligado a calcular el resto al $2^{30}.3^{20}$ se divide por 7.

$$2^{30}.3^{20} \equiv (2^{3})^{10}.(3^{2})^{10} (\texto{ mod }7) \equiv 8^{10}.9^{10} (\text{ mod }7) \equiv 1^{10}.2^{10} (\text{ mod }7)$$

Ves que cuando 8 se divide por 7 obtenemos 1 como resto y 9 cuando se divide por 7 obtenemos 2 como el resto.

$$1^{10}.2^{10} (\text{ mod }7) \equiv (2^3)^3.2 (\text{ mod }7) \equiv 1^3.2 (\text{ mod }7) \equiv 2 (\text{ mod }7) = 2$$

Por lo tanto, obtener 2 como el resto cuando se divide $2^{30}.3^{30}$ 7.

Hay lexema en los restos que establece:

La suma(producto) de cualesquiera dos números naturales tiene el mismo resto al dividir por n, como la suma(producto) de sus restos.