Naturalidad de la bijección dada por Yoneda Lemma.

Question

Estoy leyendo a través de Wikipedia, la prueba de la Yoneda Lema (https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma), y estoy teniendo problemas para entender lo que connaturalidad significa en este contexto.

Los artículos demuestra que $Nat(h^A, F) \cong F(A)$. A continuación, pasa a afirmar que si ambos lados son vistos como functors de$Set^C \times C$$Set$, entonces el bijection proporcionada por el lema es natural. Otras pruebas de decir algo así como "La bijection es natural en tanto $F$$A$".

Mi problema es que no veo cuál es una de morfismos de $Set^C \times C$ debe ser asignado a cualquiera de los functors. El functor en el lado derecho tendría que tener un morfismos de $f:A\rightarrow B$ $C$ y una transformación natural $\sigma:F \rightarrow B$ y asignarlos a una función de$F(A)$$G(B)$. Yo no veo una forma ortodoxa de hacerlo, ¿alguien me ayuda?

Answer 1

Los detalles son razonablemente desalentadora, pero si usted fija la mirada en ellos bien verás que los morfismos son las únicas cosas que, posiblemente, podría ser.

Las acciones sobre los objetos de los dos functors $\mathsf{Set}^{\mathcal{C}} \times \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$, respectivamente, son $$(F,A) \mapsto \mathsf{Nat}(y^A, F) \quad \text{and} \quad (F,A) \mapsto F(A)$$ Las acciones de los dos functors en morfismos son dados de la siguiente manera. Fix$\alpha : F \to G$$f : A \to B$.

La primera functor envía $(\alpha, f)$ a la función $$\theta_{\alpha,f} : \mathsf{Nat}(y^A, F) \to \mathsf{Nat}(y^B, G)$$ se define de la siguiente manera. Dado $\eta : y^A \to F$$C \in \mathsf{ob}(\mathcal{C})$,$\eta_C : \mathsf{Set}(A,C) \to F(C)$. Definir $$\theta_{\alpha,f}(\eta)_C : \mathsf{Set}(B,C) \to G(C)$$ por $$\theta_{\alpha,f}(\eta)_C(B \xrightarrow{g} C) = \alpha_C(\eta_C(g \circ f))$$ Esto produce una transformación natural $\theta_{\alpha,f}(\eta) : y^B \to G$, y, por tanto, una función de $\theta_{\alpha,f} : \mathsf{Nat}(y^A,F) \to \mathsf{Nat}(y^B, G)$.

La segunda functor envía $(\alpha, f)$ a la función $G(f) \circ \alpha_B : F(A) \to G(B)$: $$F(A) \xrightarrow{\alpha_A} G(A) \xrightarrow{G(f)} G(B)$$ De manera equivalente, por connaturalidad de $\alpha$, envía a $(\alpha, f)$ a la función $\alpha_A \circ F(f)$.

Answer 2

Una de morfismos $\left(F, A\right) \to \left(G, B\right)$ $\operatorname{Set}^C \times C$ tiene la forma $\left(\alpha, p\right)$ donde $\alpha : F \to G$ es una de morfismos en $\operatorname{Set}^C$ (es decir, una transformación natural $F \Rightarrow G$) y donde $p : A \to B$ es una de morfismos en $C$.

Para todos los morfismos $p : A \to B$$C$, existe un natural homomorphism $h^p : h^B \to h^A$ de functors de$C$$\operatorname{Set}$. Se define como el natural homomorphism cuyas $D$-ésimo componente (por $D \in C$) es el mapa de $h^B\left(D\right) \to h^A\left(D\right)$ que envía todos los morfismos $q : B \to D$ a los morfismos $q \circ p : A \to D$. Si usted no lo sabe ya esta construcción, hacer ver que lo que realmente define a un natural homomorphism; este es un instructivo de ejercicio.

Con el fin de activar $\operatorname{Set}^C \times C \to \operatorname{Set}, \ \left(F, A\right) \mapsto \operatorname{Nat}\left(h^A, F\right)$ en un functor, tenemos que explicar cómo un morfismos $\left(\alpha, p\right) : \left(F, A\right) \to \left(G, B\right)$ $\operatorname{Set}^C \times C$ da lugar a un mapa de$\operatorname{Nat}\left(h^A, F\right)$$\operatorname{Nat}\left(h^B, G\right)$. Es decir, el último mapa manda a cada natural homomorphism $\zeta \in \operatorname{Nat}\left(h^A, F\right)$ a la composición de la $h^B \overset{h^p}{\to} h^A \overset{\zeta}{\to} F \overset{\alpha}{\to} G$ donde $h^p : h^B \to h^A$ se define como la anterior. Es fácil ver que esto en realidad le da un functor (es decir, la composición y las identidades se conservan).

Con el fin de activar $\operatorname{Set}^C \times C \to \operatorname{Set}, \ \left(F, A\right) \mapsto F\left(A\right)$ en un functor, tenemos que explicar cómo un morfismos $\left(\alpha, p\right) : \left(F, A\right) \to \left(G, B\right)$ $\operatorname{Set}^C \times C$ da lugar a un mapa de$F\left(A\right)$$G\left(B\right)$. Es decir, el último mapa se puede definir como la composición de la $F\left(A\right) \overset{F\left(p\right)}{\to} F\left(B\right) \overset{\alpha_B}{\to} G\left(B\right)$, o como la composición de la $F\left(A\right) \overset{\alpha_A}{\to} G\left(A\right) \overset{G\left(p\right)}{\to} G\left(B\right)$. Ambas definiciones de producir el mismo mapa, debido a la $\alpha$ es natural. De nuevo, es fácil comprobar que, en realidad, da un functor.

Answer 3

Podríamos presentar el isomorfismo $\phi $ en

$\tag1Nat(h^A, F) \cong F(A)$.

Para cualquier transformación natural $\nu :h^{A}\to F$, definir $\phi :Nat(h^A, F)\to F(A)$$\phi (\nu)=\nu _{A}(1_{A})$.

Tenga en cuenta que $\nu _{A}$ es simplemente la $A$ componente de $\nu $. es decir, $\nu _{A}$ es una de morfismos, de hecho, una $set$ mapa: $\hom(A,A)\to FA$, de modo que $\phi $ envía $\nu $ para el elemento $\nu _{A}(1_{A})\in FA$. Resulta que con esta definición, $\phi $ es bijective, por tanto, un isomporphism de conjuntos.

Y ahora podemos observar que para cada una de las $A\in C$ $F\in Set^{C}$ podemos obtener un $\phi $, lo que nos debe, a continuación, escriba $\phi _{A,F}$ para mayor claridad.

Decir que $\phi $ es natural en $A$ $F$ es decir que $\phi $ es una transformación natural de los functors $$\tag2\mathcal F:Set^{C}\times C\to Set$$ definida de objetos por

$\mathcal F(F,A)=Nat(h^A, F)$

y en flechas

$\mathcal F(\tau :F\to G,f:A\to B)=\psi :Nat(h^A, F)\to Nat(h^B, G)$,

donde $\psi $ está definido por $(\psi (\nu ))_{c}=\tau _{c}\circ \nu _{c}\circ f^*$

y

$$\tag3\mathcal G=eval:Set^{C}\times C\to Set$$

$\mathcal G$ es claramente un functor y puede comprobar que la $\mathcal F$ también.

El siniestro se que $\phi _{A,F}$ son componentes naturales de los isomorfismo $\phi:\mathcal F\cong \mathcal G$.

La prueba es un poco larga pero la rutina. Awodey tiene una clara demostración de esto en su libro la Categoría de Teoría (Oxford Lógica Guías) 2ª Edición.

Answer 4

Ya otros han dado detallado de las respuestas, a las matemáticas.se de longitud, no voy a tratar de hacer eso. Pero como dice Clive, los detalles pueden parecer razonablemente sombrío a primera vista. Así que sólo voy a añadir que si quieres una más lenta versión, tengo una fiesta en la fabricación de los-vestido de Yoneda Lema, incluyendo la connaturalidad de reclamaciones, tan claro como sea posible en este proyecto de Notas sobre el Básico de la Categoría de Teoría, esp Cap. 11.