Evalúe $\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$ utilizando la sustitución $t=\frac{\pi}{2}-x$

Question

Este problema se da en un examen de muestra para mi clase de cálculo dos. $$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$$ Puedo encontrar el valor de esta integral utilizando otras sustituciones que conducen a fracciones parciales, pero el profesor añadió una pista para utilizar la sustitución $$t=\frac{\pi}{2}-x$$ así que he estado tratando de averiguar cómo hacerlo a su manera, pero estoy bastante perdido. ¿Alguna idea?

Answer 1

Pista: Haz la sustitución y para. Obtendrás que nuestra integral es igual a otra integral sobre el mismo intervalo. Súmalas.

La simetría resuelve problemas.

Answer 2

SUGERENCIA: $\sin\left(\frac{\pi}2-x\right)=\cos x$ y $\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)=\sin x$ . Mira la suma de tu integral original y la nueva.

Answer 3

$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x+ \cos x}\mathrm{d}x$ . Por otra parte, con la sustitución $t = \frac{\pi}{2} - x$ obtenemos $$\begin{align} I & = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin (\frac{\pi}{2}-t)}{\sin (\frac{\pi}{2}-t)+ \cos (\frac{\pi}{2}-t)}\mathrm{d}t \\ & = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin t+ \cos t}\mathrm{d}t \\ & = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x+ \cos x}\mathrm{d}x \\ \end{align}$$ como $\sin(\frac{\pi}{2}-t) = \cos t$ y $\cos(\frac{\pi}{2}-t) = \sin t$ .

Añadir la forma "original" de $I$ y esta nueva forma, tenemos $$\begin{align} 2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x+ \cos x}\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}, \end{align}$$ de lo que se obtiene $I = \frac{\pi}{4}$ y decirnos a nosotros mismos: "Hmmm, esto mola".

Answer 4

Hay una manera fácil de resolverlo. Dejemos que $$A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx, B=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx.$$ Entonces $$A+B=\frac{\pi}{2}$$ y $$A-B=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{-d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=-\ln(\sin x+\cos x)\big|_0^{\frac{\pi}{2}}=0.$$ A partir de aquí, tenemos $$A=B=\frac{\pi}{4}.$$ En general, puedo utilizar este método para calcular (para $a,b>0$ ) $$A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx, B=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{a\sin x+b\cos x}dx.$$ Es fácil ver $$aA+bB=\frac{\pi}{2}$$ y $$\begin{eqnarray*} aB-bA&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{-b\sin x+a\cos x}{a\sin x+b\cos x}dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(a\sin x+b\cos x)}{a\sin x+a\cos x}\\ &=&\ln(a\sin x+b\cos x)\big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=&\ln a-\ln b. \end{eqnarray*}$$ A partir de aquí, tenemos $$A=\frac{a\pi-2b\ln\frac{a}{b}}{2(a^2+b^2)},B=\frac{b\pi+2a\ln\frac{a}{b}}{2(a^2+b^2)}.$$