Estoy tratando de averiguar si para cualquier polinomio $f$, $f(\cos(t),\sin(t))=\sum_{i,j}a_{i,j}\cos(t)^i\sin(t)^j=0$ implica $x^2+y^2-1$ divide $f$.
Identidades trigonométricas no son exactamente central a la clase que estoy tomando, entonces, yo creo que la pregunta simplemente me quiere asumir este, pero todavía estoy curioso en cuanto a por qué es cierto.
En tratando de demostrar esto, sé que a través de la división de polinomios se puede conseguir $f=qg+r$ donde el grado de $x$ en $r$ es 1 o 0 y $r(\cos(t),\sin(t))=0$.
Si el grado de $x$ en $r$ es cero, simplemente tenemos un polinomio en $\sin(t)$, y un polinomio sólo tiene un número finito de raíces, mientras que $\sin(t)$ puede tomar una infinidad de valores, por lo $r=0$.
Si el grado de $x$ en $r$ es uno, y sólo hay un $x$ plazo, uno puede argumentar que podemos elegir $t$ hacer todas las $\sin$ términos arbitrariamente pequeño y el $\cos$ plazo cercano a 1, y si el término constante es igual a -1 acaba de dejar cerca de 1, y si es cercano a -1 parar en 1.
Sin embargo, no sé cómo proceder cuando hay términos como $xy$ en $r$. Yo estaba pensando de mirarlo como $x$ veces un polinomio en $y$ además de un polinomio en $y$, pero no estoy seguro de si eso ayuda.
Estoy seguro que no hay forma más sencilla de hacer esto que no estoy viendo, las sugerencias?
