Evaluando la integral$\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(u-\beta)}\,e^{-n u}\,du$

Question

Estoy tratando de calcular la siguiente integral

$$\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(u-\beta)}\,e^{-n u}du$$

con $\alpha\geq 0$ , $\beta\in \mathbb{R}$ e $n=0,1,2,...$

Parece que puede estar relacionado con las funciones de Bessel Modificadas pero no soy capaz de ver la relación.

Gracias de antemano.

Progreso: Realizar el cambio de variable $u-\beta=x$ llegamos

$$\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(u-\beta)}\,e^{-n u}du=e^{-n \beta}\,\int_{-\beta}^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\,e^{-n x}du=e^{-n \beta}\left(\,\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\,e^{-n x}dx+\int_{-\beta}^{0}e^{-\alpha\cosh(x)}\,e^{-n x}dx\right)$$

y la segunda integral se puede evaluar (con algunos technic, usando la serie de Taylor, por ejemplo). Entonces, estoy interesado en calcular la primera $\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\,e^{-n x}dx$ . Es decir, poner a $\beta=0$ en el problema original.

Answer 1

Para calcular \begin{equation} I_n=\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\,e^{-n x}\,du \end{equation} podemos descomponer \begin{align} I_n&=\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\left( \cosh nx+\sinh nx \right)\,du\\ &=\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\cosh nx\,dx+\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\sinh nx \,dx\\ &=K_n\left( \alpha \right)-L_n\left( \alpha \right) \end{align} donde la representación integral de la función Bessel modificada se utiliza y \begin{equation} L_n\left( \alpha \right)=\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\sinh nx \,dx \end{equation} Tenemos directamente \begin{equation} L_1(\alpha)=\frac{e^{-\alpha}}{\alpha} \end{equation} y \begin{align} L_{n+1}&=\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\cosh x\sinh nx \,dx+\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\cosh nx \sinh x\,dx\\ &=-\frac{dL_n}{d\alpha}+\frac{e^{-\alpha}}{\alpha}+\frac{n}{\alpha}\int_0^{\infty}e^{-\alpha\cosh(x)}\sinh nx \,dx \end{align} donde hemos utilizado una integración por partes para evaluar la segunda integral. A continuación, \begin{equation} L_{n+1}=\frac{e^{-\alpha}}{\alpha}+\frac{n}{\alpha}L_n-\frac{dL_n}{d\alpha} \end{equation} obtenemos \begin{align} L_2&=\frac{2(\alpha+1)}{\alpha^2}e^{-\alpha}\\ L_3&=\frac{3\alpha^2+8\alpha+8}{\alpha^3}e^{-\alpha}\\ \ldots \end{align} La definición de los polinomios \begin{align} P_{n+1}(\alpha)&=\left( 2n+\alpha \right)P_n(\alpha)-\alpha P'_n(\alpha)+\alpha^n\\ P_1(\alpha)&=1 \end{align} nos encontramos \begin{equation} L_n=\frac{P_{n}(\alpha)e^{-\alpha}}{\alpha^n} \end{equation} y, finalmente, \begin{equation} I_n=K_n\left( \alpha \right)-\frac{P_{n}(\alpha)e^{-\alpha}}{\alpha^n} \end{equation} Usted también puede estar interesado en los papeles por Jones, que definen a una incompleta de la función de Besselcomo \begin{equation} K_\nu\left( z,w \right)=\int_w^\infty e^{-z\cosh} \cosh \nu t\,dt \end{equation} o en los artículos de Harris en el "permeable del acuífero de la función".