Resolviendo

Question

Resolver para $x$

Tengo una ecuación que he estado trabajando en la solución; yo sé la solución, pero no puedo llegar a mí mismo. Casi todos simplificación hago vuelve a un paso anterior. ¿Alguien puede mostrarme cómo solucionar para $x$ en esta ecuación?

Ecuación:

$$\log_6(2x-3)+\log_6(x+5)=\log_3x$$

Solución:

$$x ≅ \frac{3347}{2000} ≅ 1.6735$$
Nota: en el análisis de la respuesta, mientras que de cerca, no parece ser la exacta solución.

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Lo Que He Probado Hasta Ahora

$$\log_6(2x-3) + \log_6(x + 5) = \log_3x$$ $$\frac{\log(2x-3)}{\log6} + \frac{\log(x + 5)}{\log6} = \frac{\log x}{\log3}$$ $$\log3 \cdot \log(2x-3) + \log3 \cdot \log(x + 5) = \log6 \cdot \log x$$ $$\log3 \cdot \log \left[(2x - 3)(x + 5)\right] = \log6 \cdot \log x$$ $$\frac{\log \left[(2x - 3)(x + 5)\right]}{\log_3 10} = \frac{\log6}{\log_x10}$$ $$\log_x10 \cdot \log \left[(2x - 3)(x + 5)\right] = \log_3 10 \cdot \log6$$ $$\log_x \left[(2x - 3)(x + 5)\right] = \log_3 6$$ $$\log_x3 \cdot \log_x \left[(2x - 3)(x + 5)\right] = \frac{\log_3 6}{\log_3 x}$$ $$\log_x \left[(2x - 3)(x + 5)\right]^{\ \log_x3} = \log_x 6$$ $$\left[(2x - 3)(x + 5)\right]^{\ \log_x3} = 6$$ $$(2x - 3)(x + 5) = x^{\log_3 6}$$

Sé que estos pasos no son realmente de trabajo hacia la solución en los puntos; tuve la suerte de jugar con la ecuación. Independientemente, la verdad, no sé cómo ir avanzando desde aquí.

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Answer 1

Si $x \in \mathbb R$, la ecuación $$\log_6 (2x-3) + \log_6 (x+5) = \log_3 x$$ requires $x > 3/2$. Under such an assumption, the LHS becomes $$\log_6 (2x-3)(x+5),$$ and the RHS, using the change-of-base formula, is $$\log_3 x = \frac{\log_6 x}{\log_6 3}.$$ Thus $$(2x-3)(x+5) = 6^{\log_6 x / \log_6 3} = x^{\log_3 6} = x^{\log_3 3 + \log_3 2} = x^{1 + \log_3 2}.$$

Deje $a = \log_3 2 < 1$. Luego de buscar un numérica de la raíz, aplicamos el método de Newton para $$f(x) = 2x^2 - x^{a+1} + 7x - 15$$ by computing iterates of $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{2x_n^2 - x_n^{a+1} + 7x_n - 15}{4x_n - (a+1)x_n^a + 7}.$$ A suitable initial guess has already been provided, namely $x_0 = \frac{3347}{2000}$, de la que podemos recorrer con un equipo para obtener el 75 dígitos de precisión $$x_0 = \color{verde}{1.6735}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \\ x_1 = \color{verde}{1.6735161761}6028420105594976526962483014865547809090912454018791698117840074 \\ x_2 = \color{verde}{1.673516176124260238848}57028078132556340450344946364614508901732583022202367 \\ x_3 = \color{verde}{1.67351617612426023884839162222058963917030308}792976477026920554313588396492 \\ x_4 = \color{verde}{1.67351617612426023884839162222058963917030308353547657451861889646281230396} \\ x_5 = \color{verde}{1.67351617612426023884839162222058963917030308353547657451861889646281230396} $$ donde el verde dígitos indican los valores correctos, lo que demuestra la rápida convergencia de la iteración. Por otra parte, estamos seguros de que esta es la única raíz, ya que la $f$ es una función monótonamente creciente en $x > 3/2$ (derivado de ser trivialmente mayor que $0$ en este intervalo).

Answer 2

Tomando la base- $6$ antilogaritmo,

PS

Debido al exponente irracional, no hay una solución de forma cerrada y es necesario utilizar un método numérico.

Answer 3

¡Sólo por diversión!

Como heropup ya dio la respuesta, hagamos lo mismo con una sola iteración usando métodos de orden superior con $x_0 = \frac{3347}{2000}$

$$ \ left (\begin{array}{ccc} n & x_1 & \text{Method} \\ 1 & \color{blue}{1.67351617}525914512770936502001715480227532437 & \text{Newton} \\ 2 & \color{blue}{1.6735161761242}2229623976832154151388262101881 & \text{Halley}\\ 3 & \color{blue}{1.67351617612426023}725117282565297065627253993 & \text{Householder}\\ 4 & \color{blue}{1.6735161761242602388483}2362357774862967541409 & \text{no name}\\ 5 & \color{blue}{1.6735161761242602388483916}1928419708807692011 & \text{no name}\\ 6 & \color{blue}{1.673516176124260238848391622220}46176652833341 & \text{no name}\\ 7 & \color{blue}{1.67351617612426023884839162222058963}357352924 & \text{no name}\\ 8 & \color{blue}{1.673516176124260238848391622220589639170}05729 & \text{no name} \end {array} \ right) $$