Normas en los campos

Question

Estoy haciendo un módulo introductorio en la teoría de números, y llegó a través de la definición de una norma en un campo. Parece que está de acuerdo con la definición de una norma en un espacio vectorial sobre un campo (acabo de ver el campo como un espacio vectorial en la definición anterior). Luego he leído Ostrowski del Teorema que dice que " todo no trivial de la norma en $\mathbb{Q}$ es equivalente a la norma absoltute valor o a la p-ádico norma para algunos de los mejores p. Todas estas normas son de no equivalentes.'

No veo cómo este teorema no contradice el teorema de que todas las normas en un número finito de dimensiones de espacio vectorial son equivalentes.....Sin embargo veo una diferencia en la forma de 'equivalencia' se define entre las normas en el caso de que las normas están en el campo en lugar de a un general de espacio vectorial. Todo parece un poco por todas partes en mi cabeza y no sé por qué hay una diferencia en la definición de normas equivalentes en los campos y las normas en espacios vectoriales cuando seguramente un campo es un espacio vectorial...

Si alguien pudiera aclarar las cosas lo agradecería.

Answer 1

La diferencia está en cómo la multiplicación por escalares que se maneja.

Cuando se considera una norma $\Vert\cdot\Vert$ sobre un espacio vectorial $V$ más de algún campo $F$, usted necesita fijar la noción de valor absoluto del escalar de campo $F$, por lo que el axioma $$\Vert c\cdot x\Vert = \vert c\vert \cdot\Vert x\Vert,\quad c\in F, x\in V$$ hace sentido.

La afirmación de que "todas las normas en un número finito de dimensiones de espacio vectorial son equivalentes' hace uso de la suposición de que el anterior axioma es satisfecho por la misma noción de valor absoluto. Este axioma se produce un error si intentamos ver el $p$-ádico normas como normas en espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ con la noción usual de valor absoluto. E. g. para el $2$-ádico de la norma, hemos $$\Vert3\cdot 2\Vert_2 = \Vert 2\Vert_2 \neq \vert 3\vert\cdot\Vert 2\Vert_2.$$

Answer 2

Creo que todo lo que @Eero ha dicho es verdad, pero hay más mal en la situación de que.

Usted no ha citado el teorema acerca de las normas en un finito-dimensional espacio vectorial completamente. En primer lugar, usted tiene que comenzar con una normativa campo $k$, y preguntar acerca de las normas en un número finito de $k$-espacio que, en cierto sentido, extender esa norma. Segundo, el teorema no se cumple si $k$ no es completa conforme a las norma.

Así que no hay contradicción, porque en hablar de" $\Bbb Q$, usted no ha comenzado con un pre-determinado norma en un campo. Por el contrario, se pregunta si puede haber más de una norma en un campo que se ha dado de manera abstracta. Desde $\Bbb Q$ tiene muchas topologías en él, cada uno de ellos haciendo un topológico de campo (con la continuidad de la $+$, $\times$, e $\div$, por ejemplo) y todos ellos diferentes como topologías, no debería sorprender que las terminaciones son diferentes.