Transformación ergódica en un espacio de medida sin átomos.

Question

Actualmente estoy leyendo el lema de Kakutani – Rokhlin y enfrenté un problema que se presenta a continuación: ---

Sea $(X,\mathscr B,\mu,T)$ un sistema de preservación de medidas invertibles tal que $\mu(\{x\})=0,\forall x\in X$ . Supongamos que $T$ es ergódico que tenemos que mostrar, $$\mu\bigg(\bigcup_{k\in \Bbb Z,k\not=0}\{x\in X:T^k(x)=x\}\bigg)=0.$ $

No sé cómo empiezo con este problema. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Yo creo que la correcta condición en lugar de "$\forall x\in X: \mu(\{x\})=0$" es que $\mu$ es el átomo libre.

Quiere mostrar que para cada invertible medibles mapa de $T$ en un espacio medible $(X,\mathscr{B})$, el conjunto de $T$-periódico puntos tiene medida cero con respecto a cada átomo libre de $T$-ergodic medida $\mu$.

Si este no es el caso, no debe ser un entero $n>0$ tales que el conjunto $P_n$ de los puntos que tienen el período de $n$ tiene medida positiva. Por ergodicity, la medida de la $P_n$ debe de hecho ser $1$. Desde $\mu$ es el átomo libre, no debe ser un conjunto medible $A\subsetneq P_n$ tal que $0<\mu(A)<1/n$. El conjunto $E:=A\cup T^{-1}(A)\cup\cdots\cup T^{-(n-1)}(A)$ serán entonces un conjunto invariante con $0<\mu(E)<1$, contradiciendo ergodicity. Q. E. D.

Si usted requiere solamente que no hay singleton átomos, entonces la conclusión no se sostiene. Por ejemplo, tome $X:=[0,1]$ con $\mathscr{B}$ siendo el $\sigma$-álgebra generada por los embarazos únicos, y para cada una de las $A\in\mathscr{B}$, vamos \begin{align} \mu(A) &:= \begin{cases} 0 & \text{if %#%#% is countable,} \\ 1 & \text{if %#%#% is countable.} \end{casos} \end{align} El mapa de identidad $A$ se puede medir, medir, preservar y ergodic. No tiene singleton los átomos, pero no es no atómica, porque el complemento de cualquier contables conjunto es un átomo. Por otro lado, cada punto es periódica bajo $X\setminus A$ con un periodo $T:x\mapsto x$.