Sean A y B dos reales $n\times n$ matrices tales que $AB=BA$ . Se sabe que $\det(A^2+B^2)\geq 0$ .
Me pregunto si es cierto que:
Para $k$ matrices reales conmutables por pares $A_1,\cdots,A_k$ tenemos: $\det(\sum_{i=1}^{k}A_{i}^2)\geq0$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos generalizar el resultado requerido de la siguiente manera
Dejemos que $(A_i)_{1≤i≤p}$ sea $n$ -por- $n$ matrices reales que son simultáneamente triangulables sobre $\mathbb{C}$ . Demostrar que $\det(\sum_{i=1}^p {A_i}^2)≥0$ .
Planteé este problema en Image, el boletín de la ILAS; cf. (declaración y solución) p.37, pb. 56.2 en
https://www.ilasic.org/IMAGE/IMAGES/image58.pdf
Un lector proporcionó una solución (véase la referencia anterior) que utiliza la descomposición en bloques propuesta por user1551. Yo propuse otra solución que puedo detallar si te interesa.
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Suponiendo que la prueba expuesta en esta respuesta es correcta, toda familia de matrices reales conmutables puede ser aproximada por familias convergentes de matrices reales diagonalizables conmutables. Se deduce que se puede tratar el problema en bloque y el problema se reduce al caso escalar y al $2\times2$ caso de la matriz de rotación. Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es "sí".
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@user1551 , no me convence del todo tu segunda parte; en mi opinión, debes mostrar algunos detalles sobre la diagonalización simultánea por bloques. Del mismo modo, si simultaneas las matrices por triangulación sobre $\mathbb{C}$ , entonces no tiene la mano en los ordenamientos de los valores propios de nuestras matrices.
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@loupblanc Mi comentario estaba equivocado. En retrospectiva, esa respuesta citada simplemente no se aplica (inmediatamente) al caso con más de dos sumandos.