Geometría pregunta de concurso de matemáticas de escuela secundaria

Question

Deje $ABC$ ser un triángulo equilátero con lado de longitud $2$. Deje que el círculo con diámetro AB se $\gamma$. Considere los dos tangentes $C$ a $\gamma$, y dejar que el punto de tangencia más cerca de $A$ ser $D$. Encontrar el área del triángulo $CAD$.

Yo era capaz de averiguar que $CD$ ha $\sqrt2$. No puedo averiguar la altura de un triángulo $CAD$.

Estoy tratando de calcular la altura de $D$ a $AC.$ Alternativamente, si podía encontrar la longitud de $AD$, entonces también debería ser capaz de solucionar el problema.

Answer 1

\begin{align} S_{ACD}&= S_{CDO}+S_{AOD}-S_{AOC} ,\\ S_{CDO}&=\tfrac12|CD|\cdot|OD|=\frac{\sqrt2}2 ,\\ S_{AOD}&=\tfrac12|OA|\cdot|OD|\cdot\sin\angle AOD =\tfrac12\sin\angle OCD =\tfrac12\cdot\frac{|OD|}{|OC|} =\frac{\sqrt3}6 ,\\ S_{AOC}&=\tfrac12|OA|\cdot|OC|=\frac{\sqrt3}2 ,\\ S_{ACD}&=\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}6- \frac{\sqrt3}2 =\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt3}3 \approx .1297565117 . \end{align}

Answer 2

Deje $O$ ser un centro de la circunferencia $\Gamma$.

Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras $$CD^2=CO^2-DO^2=\left(\sqrt3\right)^2-1^2=2$$ and $$CD=\sqrt2.$$ Id est, $$S_{\Delta ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot AC\sin\measuredangle ACD=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cdot2\sin\left(\arctan\frac{1}{\sqrt2}-30^{\circ}\right)=$$ $$=\sqrt2\left(\sin\arctan\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\cos\arctan\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}\right)=$$ $$=\sqrt2\left(\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt3}.$$

Hay una solución sin la trigonometría.

Deje $DK$ ser una altitud de $\Delta ADO$.

Así, desde la $\Delta OKD\sim\Delta CDO,$ obtenemos: $$\frac{DK}{DO}=\frac{DO}{CO}$$o $$\frac{DK}{1}=\frac{1}{\sqrt3},$$ which gives $$DK=\frac{1}{\sqrt3}$$y $$S_{\Delta ACD}=S_{\Delta ADO}+S_{\Delta OCD}-S_{\Delta ACO}=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\cdot1+\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cdot1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot1=\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt3}.$$