Si un grupo$G\leq S_{13}$ tiene un elemento de orden$40$, entonces$G$ tiene un subgrupo normal no trivial.

Question

Me topé con la siguiente pregunta y no tengo idea de cómo acercarse a él.

Deje $G\leq S_{13}$ ser un subgrupo con un elemento de orden $40$.

Demostrar que $G$ tiene un normal adecuada no trivial de los subgrupos.

He pensado en usar el teorema de sylow, pero no sé orden de $G$. ¿Cómo debo demostrarlo?

También, si alguien sabe de que libro la cuestión fue tomada será genial (gustaría practicar con preguntas similares).

Answer 1

La única permutaciones en $S_{13}$ que tienen el fin de $40$ son el producto de una $5$-ciclo y discontinuo $8$-ciclo. Vamos a llamar a este elemento $x$. A continuación, $x^2 \in A_{13}$ pero $x \notin A_{13}$, e $G \cap A_{13}$ es no trivial de la normal y adecuada subgrupo de $G$.

Editado para añadir una discusión de la motivación: Por cierto, esto no es algo que yo tenía "en la lata", por así decirlo. Pero ya sabemos que el solo no trivial de la normal y adecuada subgrupo de $S_{13}$ es $A_{13}$, que parecía natural realmente lo $G$ tiene que mirar como cuando se inserta en $S_{13}$, en la esperanza de que pudiéramos fuerza no trivial de la intersección con la a$A_{13}$. Una vez que hacerte esa pregunta, la respuesta se desprende con bastante rapidez.