$x^5 + x^4 +1$ para ser un cuadrado perfecto

Question

Encuentre todos los enteros positivos x de modo que $x^5 + x^4 +1$ sea un cuadrado perfecto.

Mi progreso: la factorización da $(x^3-x+1)(x^2+x+1)$ . El mcd de los factores es 1 o 7 y el primer caso se descarta fácilmente. Pero, ¿y si ambos multiplicadores son 7 por cuadrado?

Cualquier ayuda apreciada.

Answer 1

Probablemente no es una respuesta satisfactoria, ya que utiliza altamente no-elemental métodos, pero puede ser útil hacer una lista de la solución de referencia.

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La ecuación $$ E_1: y^2 = x^3-x+1 $$ es una curva Elíptica. Del mismo modo para $$ 7y^2=x^3-x+1 $$ podemos multiplicar por $7^3$ conseguir $$ E_2: (7^2y)^2=(7x)^3 a 7^2(7x)+7^3 \Longleftrightarrow E_2: Y^2=X^3-49X+343 $$ y se observa que el $E_2$ es también una curva Elíptica.

Por Siegel Teorema, hay sólo un número finito integral puntos sobre curvas Elípticas, de modo que sólo puede haber un número finito de soluciones a las ecuaciones. Por lo que el siguiente objetivo es conseguir esta lista limitada.

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Para una solución rápida, tengo los resultados de LMFDB y cruz marcada con Sagemath.

Para $E_1$, LMFDB dice que la integral de puntos de $$ (x,y) = (-1,\pm 1), (0, \pm 1), (1,\pm 1), (3,\pm 5), (5, \pm 11), (56, \pm 419) $$ Asimismo, para $E_2$, LMFDB dice que la integral de puntos de $$ (X,Y) = (14, \pm 49) \implica (x,y) = (2,\pm 1) $$ Por lo tanto, una potencial lista de $x$es $$ \{-1,0,1,2,3,5,56\} $$ Ahora ponerlos en $$ x^5+x^4+1 = w^2 $$ vemos que sólo $x=-1,0,2$ obras.

Answer 2

Esta es sólo una respuesta parcial, pero espero que proporciona el inicio de un camino posible para resolver el problema. Como ya se señaló en la pregunta, la $2$ polinomio factores deben ser $7$ veces un cuadrado. En particular,

$$x^3 - x + 1 = 7w^2 \tag{1}\label{eq1}$$ $$x^2 + x + 1 = 7y^2 \tag{2}\label{eq2}$$

para algunos enteros positivos $w$ e $y$. En el caso de que $w = y$ ha sido discutido en la respuesta por Martin Hansen. Nota \eqref{eq2} puede ser hecho en la forma genérica $a⁢x^2 + b⁢x⁢y + c⁢y^2 + d⁢x + e⁢y + f = 0$ moviendo el $7y^2$ a la izquierda. Conectar el adecuado coeficientes en Genérico de dos enteros de la variable de la ecuación de solver da la base de la solución positiva de $x = 2$ e $y = 1$, con la recursividad de las fórmulas de

$$x_{n+1} = 127 ⁢x_n + 336 ⁢y_n + 63 \tag{3}\label{eq3}$$ $$y_{n+1} = 48 ⁢x_n + 127 ⁢y_n + 24 \tag{4}\label{eq4}$$

y también:

$$x_{n+1} = 127 ⁢x_n - 336 ⁢y_n + 63 \tag{5}\label{eq5}$$ $$y_{n+1} = -48 ⁢x_n + 127 ⁢y_n - 24 \tag{6}\label{eq6}$$

Si usted no está seguro de que se trate o que estas son todas las posibles soluciones, luego otro enfoque es tener en cuenta que \eqref{eq2} también puede ser tratada como una ecuación de segundo grado en $x$, por lo que el determinante debe ser un cuadrado perfecto. En particular, esto significa que

$$1 - 4\left(1 - 7y^2\right) = a^2 \; \Rightarrow \; a^2 - 28y^2 = -3 \tag{7}\label{eq7}$$

para algún entero positivo $a$. De acuerdo a AoPS en Línea de la ecuación de Pell, esta es una Pell-como la ecuación porque es de la forma $x^2 - Dy^2 = k$. Con respecto a la solución, incluyendo la determinación de cuáles son todas las posibles soluciones, esto es a pedido y con varias buenas respuestas dadas en el MSE del que Hace la Pell-como la ecuación de $X^2-dY^2=k$ tienen un simple recursividad como $X^2-dY^2=1$?. Además, el uso Genérico de dos enteros de la variable de la ecuación de solver de nuevo ahora da la base de la solución positiva de $x = 5$ e $y = 1$, con la recursividad de las fórmulas de

$$x_{n+1} = 127 ⁢x_n + 672 ⁢y_n \tag{8}\label{eq8}$$ $$y_{n+1} = 24 ⁢x_n + 127 ⁢y_n \tag{9}\label{eq9}$$

y también:

$$x_{n+1} = 127 ⁢x_n - 672 ⁢y_n \tag{10}\label{eq10}$$ $$y_{n+1} = -24 ⁢x_n + 127 ⁢y_n \tag{11}\label{eq11}$$

El uso de cualquier método, usted ahora tiene un conjunto relativamente pequeño de posibles soluciones para comprobar mediante el uso de los valores resultantes de $x$ en \eqref{eq1} para determinar si el resultado $w$ es un número entero. Por desgracia, no sé si hay alguna analítica para comprobar si hay alguna solución, mucho menos la menos uno mayor que $w = 1$ si alguno no existen.

Nota también podría considerar \eqref{eq1} ser una ecuación cúbica en $x$ y, a continuación, determinar qué condiciones se requieren para que un integrante de la raíz, y las restricciones que éste impone a $w$. Sin embargo, yo no lo he probado todavía, así que no sé de improviso si te ayuda o no.

Answer 3

Esta es una parte de la respuesta que voy a editar de una vez he pensado algunas más;

Como se observa $$x^5 + x^4 +1=(x^3-x+1)(x^2+x+1)$$

Por lo $$x^5 + x^4 +1$$ será un cuadrado perfecto cuando, $$(x^3-x+1)=(x^2+x+1)$$ $$x^3-x^2-2x=0$$ $$x(x^2-x-2)=0$$ $$x(x-2)(x+1)=0$$ $$Either:x={-1,0,2}$$

Así que los tres valores que hacen que sea cierto, dos de los cuales son eliminados pregunta para enteros positivos.

Pero ¿hay más ?

Creo que no hay, que es decepcionante, ya que sería más divertido si hubiera...