Evaluar $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1^2 + 2^2 +...+n^2}{n^3}$$
Este es el original método para resolver este problema es:
Tomando la suma de los cuadrados de los números de $1^2 + 2^2 + 3^2 +...+n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1^2 + 2^2 +...+n^2}{n^3} = \frac{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n^3}$$ $$=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$$ $$=\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
Pero cuando se mira en el límite en un ángulo diferente puedo obtener una respuesta diferente,
$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1^2 + 2^2 +...+n^2}{n^3} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+...+\frac{1}{n}$$ $$=0+0+...+0 = 0$$
Tanto el método parece bien a mí, pero ¿por qué estoy recibiendo respuestas diferentes? ¿Qué he hecho mal? Por Favor Explique. Gracias!
