A006517: Números con $n\mid 2^n+2$

Question

El problema 323 de la IMO 2009 dice:

Demuestra que hay infinitos enteros positivos n tales que $2^n+2$ es divisible por $n$.

Una solución increíblemente bonita (y corta) se puede encontrar aquí (ver página 3).

La secuencia OEIS A006517 enumera los 27 enteros más pequeños $n$ tales que $n\mid 2^n+2$: $$ 1, 2, 6, 66, 946, 8646, 180246, 199606, 265826, 383846, 1234806, 3757426, 9880278, 14304466, 23612226, 27052806, 43091686, 63265474, 66154726, 69410706, 81517766, 106047766, 129773526, 130520566, 149497986, 184416166, 279383126. $$

Todos estos números, con la excepción de $1$, son pares, y Max Alekseyev ha demostrado que esto se cumple también para términos más grandes: si $n\mid 2^n+2$ y $n>1$, entonces $n$ es par.

Otra observación es que todos los números mencionados anteriormente son libres de cuadrados. ¿Es esto cierto en general?

¿Es verdad que si $n\mid 2^n+2$, entonces $n$ es libre de cuadrados?

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(También publicado en MathOverflow: https://mathoverflow.net/q/326123/9924)

Answer 1

Solo una observación. Si asumimos $n=q\cdot p^2$ donde $p$ es un número primo impar, entonces $$2^{n} \equiv -2 \pmod{p^2} \tag{1}$$ y por el teorema de Euler $$2^{\varphi\left(p^2\right)} \equiv 1 \pmod{p^2} \iff 2^{p(p-1)} \equiv 1 \pmod{p^2} \tag{2}$$ Expandiendo $(2)$ obtenemos $$2^{p^2(p-1)} \equiv 1^p \pmod{p^2} \Rightarrow 2^{q\cdot p^2 \cdot (p-1)} \equiv 1^q \pmod{p^2} \Rightarrow \\ 2^{n \cdot (p-1)} \equiv 1 \pmod{p^2} \tag{3}$$ pero, de $(1)$ y dado que $p-1$ es par $$2^{n\cdot(p-1)} \equiv (-2)^{p-1} \equiv 2^{p-1} \pmod{p^2} \tag{4}$$ combinando $(3)$ y $(4)$ $$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$$ lo que hace que $p$ sea un primo de Wieferich (también aquí), de los cuales solo se conocen dos hasta ahora, $1093$ y $3511$ (A001220).