La similitud entre $e^x$ serie de potencias e integral de la función Gamma?

Question

La serie de potencias para $e^x$ es la siguiente.

$$e^{x} =\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{x^{n}}{n!}$$

Si definimos $n! = \Gamma(n+1)$ entonces tenemos

$$n!=\int ^{\infty }_{0} x^{n} e^{-x} dx.$$

Una observación muy superficial es que si comparamos los sumandos/integrantes de cada ecuación con sus correspondientes lados izquierdos, terminamos con las siguientes correspondencias.

$$e^x \longleftrightarrow \frac{x^n}{n!} \hspace{2 in} n! \longleftrightarrow \frac{x^n}{e^x}$$

Muy ingenuamente, se podría hacer la observación de que la correspondencia de la izquierda parece una manipulación algebraica de la correspondencia de la derecha (multiplicar ambos lados por $n!$ y dividir por $e^x$ ).

¿Es una mera coincidencia o hay una conexión más profunda?

Answer 1

El exponencial (en realidad $e^{-x}$ por razones de convergencia) y el $\Gamma$ son pares de Mellin por lo que una se transforma en la otra con las transformadas de Mellin y la inversa de Mellin.

La segunda ecuación anterior para un $s-1,\hspace{.1 in} \Re(s) > 0$ en lugar de $n$ es la definición de la transformada de Mellin, por lo que muestra que " $(s-1)!" = \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx, \hspace{.1 in} \Re(s) > 0$ es la transformada directa de Mellin de $e^{-x}$ y una de las razones del cambio de definición ( $n! = \Gamma(n+1)$ ).

Para la inversa se sigue exactamente mostrando que los coeficientes de la serie de Taylor resultante son el coeficiente de la exponencial que se refleja analíticamente en $e^{-x}=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-\infty}^{c+\infty}x^{-s}\Gamma(s)ds, \hspace{.1 in} x>0, \hspace{.1 in}$$ c>0$ arbitraria.